Свойства от синусоидальной спирали:

• Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой;

• Касательные в двойной точке составляют с отрезком F₁F₂ углы ;

• Угол μ, составляемый касательной в произвольной точке кривой с радиус-вектором точки касания равен ;

• Касательные в точках пересечения кривой и хорды, проходящей через двойную точку, параллельны друг другу;

• Инверсия относительно окружности с центром в двойной точке, переводит лемнискату Бернулли в равнобочную гиперболу;

• Радиус кривизны лемнискаты есть ;

Есть частный случай формулы радиуса кривизны синусоидальной спирали:

при m = 2,

однако, легко вывести и по определению.

Уравнение лемнискаты в полярной системе:

Формулы перехода к полярной системе координат:

Выражаем :

Подставляем в уравнение лемнискаты и выражаем x и y:

—- это параметрическое уравнение относительно . Проведя некоторые тригонометрические преобразования, можно получить уравнение относительно , указанное выше в разделе Уравнения.

Формула радиуса кривизны кривой, заданной параметрически:

Находим производные по :

Подставляем в формулу радиуса:

Возвращаемся к уравнению лемнискаты:

Подставляем это выражение в полученную формулу радиуса и получаем:

• Натуральное уравнение кривой имеет вид

• Подерой лемнискаты является синусоидальная спираль

• Лемниската сама является подерой равносторонней гиперболы.

Собственные свойства:

Гравитационное свойство лемнискаты

• Кривая является геометрическим местом точек, симметричных с центром равносторонней гиперболы относительно её касательных;

• Отрезок биссектрисы угла между фокальными радиус-векторами точки лемнискаты равен отрезку от центра лемнискаты до пересечения её оси с этой биссектрисой;

• Материальная точка, движущаяся по кривой под действием однородного гравитационного поля, пробегает дугу за то же время, что и соответствующую хорду. При этом ось лемнискаты составляет угол с вектором напряжённости поля, а центр лемнискаты совпадает с исходным положением движущейся точки;

• Площадь полярного сектора , при :

• В частности, площадь каждой петли , то есть площадь, ограниченная кривой, равна площади квадрата со стороной ;

• Перпендикуляр, опущенный из фокуса лемнискаты на радиус-вектор какой-либо её точки, делит площадь соответствующего сектора пополам;

• Длина дуги лемнискаты между точками и выражается эллиптическим интегралом рода:

где

• В частности, длина всей лемнискаты