Спирали

Спирали - плоские кривые линии (рис 1), бесчисленное множество раз обходящие некоторую точку, с каждым обходом приближаясь к ней или с каждым обходом удаляясь от неё.

Если выбрать точку за полюс полярной системы координат, то полярное уравнение спирали

r = f(j) таково, что f(j + 2p) > f(j) или f(j + 2p) < f(j) при всех j. В частности, спирали получаются, если f(j) — монотонно возрастающая или убывающая положительная функция.

Наиболее простой вид имеет уравнение архимедовой спирали: r = аj, изученной древнегреческим математиком Архимедом в связи с задачами трисекции угла и квадратуры круга в сочинении "О спиралях".

Из других спиралей практическое значение имеет спираль Корню (или клотоида), применяемая при графическом решении некоторых задач дифракции. Параметрическое уравнение этой С. имеет вид:

.

Спираль Корню (рис. 2) является идеальной переходной кривой для закругления железнодорожного пути, так как её радиус кривизны возрастает пропорционально длине дуги. Спиралями являются также эвольвенты замкнутых кривых, например эвольвента окружности.

Названия некоторым спиралям даны по сходству их полярных уравнений с уравнениями кривых в декартовых координатах, например:

• параболическая спираль (а - r)² = bj;

• гиперболическая спираль: r = а/j;

• жезл: r² = a/j;

• si-ci-cпираль, параметрические уравнения которой имеют вид:

,

si (t) и ci (t) —интегральный синус и интегральный косинус. Кривизна si-ci-cпирали изменяется с длиной дуги по закону показательной функции. Такие спирали применяют в качестве профиля для лекал.

Напоминает спираль кривая , называемая кохлеоидой. Она бесконечное множество раз проходит через полюс, причём каждый следующий завиток лежит в предыдущем.

Спирали встречаются также при рассмотрении особых точек в теории дифференциальных уравнений

Спиралями иногда называют также пространственные кривые, делающие бесконечно много оборотов вокруг некоторой оси, например винтовая линия.