logo
Вопросы и ответы к экзамену по математике

Определение смешанного произведения. Свойства смешанного произведения. Вывести формулу для вычисления смешанного произведения в координатной форме.

Сме́шанное произведе́ние векторов(a,b,c) — скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c :

Свойства:

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

Смешанное произведение в правой(в левой перед определителем скобка) декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов a,b,c:

abc=+/-V – объём параллелепипеда. + - если правая тройка, минус соотвественно.

Объём пирамиды – объём параллелепипеда умножить на 1/6.

Компланарность трех векторов: смешанное произведение равно нулю.

  1. Общее уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой.

Расстояние точки A(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

  1. Каноническое уравнение прямой на плоскости. Уравнение прямой, проходящей через две точки

  1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Взаимное расположение прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом.

  1. Общее уравнение плоскости. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости.

  1. Общие уравнения прямых в пространстве. Каноническое и параметрическое уравнения прямой

  1. Переход от общих уравнений прямой к каноническим. Взаимное расположение прямых.

  1. Взаимное расположение прямой и плоскости. Точка пересечения прямой и плоскости.

  1. Эллипс (определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение).

  1. Гипербола(определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение).

  1. Парабола(определение, вывод канонического уравнения, свойства, построение).

  2. Предел функции в точке при , его геометрический смысл.

  3. Предел функции при , его геометрическая интерпретация.

  4. Односторонние пределы функции.

  5. Свойства предела функции. Виды неопределенностей.

  6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Их свойства. Теорема о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями.

  7. Теорема о связи между пределом и бесконечно малой. Используя эту теорему доказать, что предел суммы равен сумме пределов.

  8. Доказать первый замечательный предел.

  9. Последовательность . Второй замечательный предел. Доказать следствия из него.

  10. Сравнение бесконечно малых функций. Теорема о замене эквивалентными бесконечно малыми в пределе.

  11. Записать следствие из первого замечательного предела. Доказать, что . Записать эквивалентности, связанные с первым замечательным пределом.

  12. Записать эквивалентности, связанные со вторым замечательным пределом. Доказать, что .

  13. Определение непрерывности функции в точке. Теорема о непрерывности элементарных функций.

  14. Определение точек разрыва и их классификация.

  15. Свойства функций, непрерывных в точке.

  16. Сформулировать свойства функций, непрерывных на отрезке. Их геометрическая иллюстрация.