Определение скалярного произведения. Свойства скалярного произведения. Вывести формулу для вычисления скалярного произведения в координатной форме.

Скалярное произведение – это число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними.

Свойства:

Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a ^b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а¹ 0 ¹b, то а ^ b

Проекция вектора на заданное направление

Нахождение проекции вектора а на направление, заданное вектором b, может осуществляться по формуле

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы F, образующей угол j с перемещением АВ= S (см.рис. 15).

Из физики известно, что работа силы F при перемещении S равна

А=F•S•cosj т. е. А=(F•S).

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:

т.е

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

8. Содержание

   • Вектор. Линейные операции над векторами.
   • Линейно зависимая и линейно – независимая система векторов. Теорема о линейной зависимости двух векторов. Сформулировать теорему о линейной зависимости трёх векторов.
   • Проекция вектора на ось. Свойства проекций.
   • Базис в пространстве. Ортонормированный базис. Прямоугольная декартова система координат. Координаты вектора.
   • Линейные операции над векторами в координатной форме. Условие коллинеарности векторов(в координатах).
   • Длина и направляющие косинусы вектора. Координаты вектора через координаты точек его начала и конца.
   • Определение скалярного произведения. Свойства скалярного произведения. Вывести формулу для вычисления скалярного произведения в координатной форме.
   • Вывести формулу для вычисления скалярного произведения в координатной форме.
   • Определение векторного произведения. Свойства векторного произведения. Вывести формулу для вычисления векторного произведения в координатной форме.
   • Определение смешанного произведения. Свойства смешанного произведения. Вывести формулу для вычисления смешанного произведения в координатной форме.