Вывод координатного ( ( ) ), векторного( ) и параметрических ( ) уравнений прямой на плоскости.

Получим координатную форму записи векторного уравнения прямой . Так как   , по формуле находим   или Полученное соотношение позволяет по координатам точки   и координатам A,B нормали n записать уравнение прямой без промежуточных вычислений. Обозначив  , получим уравнение

Векторное уравнение прямой. Описание прямой в пространстве при помощи общих уравнений — не единственный способ. Прямую L в пространстве можно также однозначно задать любой ее точкой M0 и параллельным ей ненулевым вектором s. Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, называют направляющим вектором прямой.

Если точка M принадлежит прямой L, то это эквивалентно тому, что вектор коллинеарен вектору s. Так как s 0, то вектор s является базисом в пространстве

коллинеарных ему векторов. Поэтому для некоторого числа t выполняется равенство

= ts. Так как , где r и — радиус-векторы точек M и

соответственно, то условие M ∈ L можно записать в виде уравнения которое называют векторным уравнением прямой в пространстве.

Векторно-параметрическое уравнение прямой задается вектором   конец которого лежит на прямой, и направляющим вектором прямой a. Параметр t пробегает все действительные значения.

Параметрические уравнения прямой

Предположим, что известны координаты {l;m; n} направляющего вектора s прямой L и точки ∈ L в прямоугольной системе координат. Обозначим через (x; y; z) координаты произвольной точки M.

Критерием принадлежности точки M прямой L является условие коллинеарности векторов , что равносильно пропорциональности их координат. Обозначив через t коэффициент пропорциональности, получим равенства . Но тогда и называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве. Шесть коэффициентов в системе уравнений имеют наглядный геометрический смысл: они представляют собой координаты одной точки на прямой, соответствующей t = 0, и координаты направляющего вектора прямой, который соединяет точки, соответствующие значениям параметра t = 0 и t = 1.

Итак, если задана система трех уравнений вида (6.3), в которой хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то эта система определяет в пространстве прямую, причем тройка коэффициенто задает на прямой точку, а тройка коэффициентов представляет собой координаты направляющего вектора прямой.

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:

где t — производный параметр, a_x, a_y — координаты x и y направляющего вектора прямой, при этом

Смысл параметра t аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.