Тема 4. Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики

В теме 4 «Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики» рассматривается одно из фундаментальных понятий теории вероятностей – понятие случайной величины. Под случайной величиной понимается переменная, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно – заранее неизвестно). Если говорить более строго, то случайная величина есть функция, заданная на множестве элементарных исходов.

Случайная величина называется дискретной, если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное (т.е., если ее значения можно перенумеровать натуральными числами). Например, случайная величина – число родившихся детей в г. Москве в определенный день года – дискретная с конечным множеством значении, а случайная величина – число произведенных выстрелов до первого попадания в цель – дискретная с бесконечным, но счетным множеством значений. Если случайная величина сплошь заполняет некоторый интервал числовой оси, она называется непрерывной. Например, дальность полета артиллерийского снаряда – непрерывная случайная величина. Строгое определение непрерывной случайной величины дается в теме 5.

Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является ее закон распределения, т.е. всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Для дискретных случайных величин закон распределения может быть задан в виде таблицы (матрицы), называемой рядом распределения или графически – в виде многоугольника или полигона распределения вероятностей.

При построении закона (ряда) распределения дискретной случайной величины следует прежде всего определить ее возможные значения x 1, x 2, … x n перейти к вычислению вероятностей событий X = x 1 , X = x 2 , …, X = x n используя приемы и методы, рассмотренные в предыдущих темах.

Закон (ряд) распределения дискретной случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Однако такой закон бывает трудно обозримым и не всегда удобным и даже необходимым для анализа. В связи с этим в теории вероятностей большую роль играют числа, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения и называемые числовыми характеристиками. Часто удается решать вероятностные задачи, оперируя лишь числовыми характеристиками случайных величин.

Важнейшими числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание или среднее значение дискретной случайной величины определяется как сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности, т.е.

Дисперсия случайной величины определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.и служит характеристикой отклонения, рассеяния, разброса значений случайной величины относительно ее среднего значения. Для вычисления дисперсии используется формула:

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому рассматривается также среднее квадратическое (или стандартное) отклонение случайной величины, равное арифметическому значению корня квадратного из ее дисперсии, т.е.Важно понимать, что если сама величина X – случайная, то ее числовые характеристики – математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и др. – являются величинами неслучайными, детерминированными.

Из дискретных случайных величин в программу входят случайные величины, имеющие биномиальный закон распределения – закон распределения числа m появления события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р, и закон Пуассона – закон редких явлений. Обратите внимание на то, что числовые характеристики этих случайных величин находятся проще, чем по общим формулам. Так, для биномиального закона математическое ожидание

а дисперсиягде q =1– p , а для закона Пуассона математическое ожидание и дисперсия совпадают и равны параметру » этого закона, т.е.