Тема 2. Основные теоремы

При изучении темы 2 «Основные теоремы» Вы четко должны усвоить основные операции над событиями – их сумму и произведение. Если сумма ( А+ В) есть событие, состоящее в появлении хотя бы одного из данных событий (т.е. наступления или события А, или события В или обоих событий вместе), то произведениеАВ – представляет событие, состоящее в совместном наступлении двух событий (т.е. наступления и события А, и события В). Следует учесть, что два события – появление хотя бы одного из данных событий и непоявление всех этих событий , являютсяпротивоположными.

Поэтому событием, противоположным сумме А+ B +...+ К, будет произведение противоположных событий

В основе учебного материала данной темы выступают теоремы сложения и умножения вероятностей.

Согласно первой – теореме сложения – вероятность суммыконечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Из этой теоремы следует, что сумма вероятностей событий, образующих полную группу (и в частности, противоположных событий), равна 1. При использовании теоремы сложения учтите, что она применима только для несовместных событий. В противном случае, получаем неверные и даже абсурдные результаты. Так, если выигрыш по каждому билету лотереи равен 0,05, то применение теоремы сложения для определения вероятности выигрыша хотя бы по одному из 100 приобретенных билетов, приведет к суммированию 100 одинаковых слагаемых – вероятностей 0,05, т.е. к ответу, равному 5, в то время как вероятность любого события не может быть больше 1. Абсурдность полученного ответа объясняется тем, что выигрыши по каждому билету лотереи – события совместные, и теорема сложения вероятностей к ним не применима.

Согласно второй – теореме умножения – вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло, т.е .

Например, если в урне 7 белых и 3 черных шара, то вероятность извлечения из нее на удачу двух белых шаров, равна вероятности извлечения первого белого шара, т.е.

умноженной на условную вероятность извлечения второго белого шара при условии, что первым извлеченным шаром был также белый, т.е. наибо из оставшихся 9 шаров 6 белых). Таким образом, искомая вероятность

В случае независимых событий теорема умножения принимает более простой вид: вероятность произведения двух или нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, т.е.

Так, при наличии двух урн, в каждой из которых по 7 белых и 3 черных шара, вероятность того, что при извлечении наудачу по одному шару из каждой урны окажутся оба белых, по теореме умножения для независимых событий

Если требуется найти вероятность появления хотя бы одного из совместных событий, т.е. вероятность суммы совместных событий, то рекомендуется перейти к противоположному ей событию, т.е. непоявлению всех данных событий. При этом исходят из утверждения о том, что вероятность суммы совместных событий равна разности между единицей ни вероятностью произведения противоположных событий, т.е.

Так, в упоминавшемся выше примере о нахождении вероятности выигрыша хотя бы по одному из 100 приобретенных лотерейных билетов с вероятностью выигрыша по каждому

надо найти вероятность противоположного события, т.е. невыигрыша по всем 100 билетам; эта вероятность

Завершают тему формулы полной вероятности и Байеса, применяемые в случае, когда данное событие F может произойти только при условии появления одного из событий – гипотез, образующих полную группу. Если по формуле полной вероятности находится вероятность события F (безотносительно к рассматриваемой гипотезе), то формула Байеса позволяет произвести количественную переоценку вероятностей гипотез, известных до испытания, лишь после того, как событие F произошло.