Тема 5. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения

В теме 5 «Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения» рассматриваются два фундаментальных понятия – функция распределения и плотность вероятности случайной величины. Функция распределения F ( x ) представляет для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х:

Плотностью вероятности или плотностью распределения случайной величины X называется производная ее функции распределения:Обратите внимание на свойства функции распределения и плотности вероятности и их графическую иллюстрацию. Так, функция распределения – неубывающая функция; принимает значения от 0 до 1 ;на минус бесконечностиа на плюс бесконечности –а приращение функции распределения на интервале [ x 1 , x 2 ) ( включая х1) есть вероятность попадания случайной величины в этот интервал:

Плотность вероятности есть неотрицательная функция. Вероятности попадания непрерывной случайной величины в любой интервал, а следовательно, и функция распределения, находятся интегрированием плотности вероятности на этом интервале и геометрически представляют собой соответствующие площади под кривой распределения. Нужно знать, что кривая распределеният.е. график плотности вероятности, лежит не ниже оси абсцисс, а полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Из непрерывных случайных величин особо важное значение имеет нормальный закон распределения. Необходимо знать формулу плотности вероятности нормального закона и ее график – нормальную или гауссову кривую, теоретико-вероятностный смысл его параметров, выражение функции распределения F N ( x ) через функцию Лапласа Ф( х), свойства нормально распределенной случайной величины. Надо четко представлять, что при изменении только параметра a , являющегося математическим ожиданием нормально распределенной случайной величины, меняется положение нормальной кривой, a при изменении только параметра Г 2, являющегося дисперсией этой величины, меняется форма нормальной кривой. Часто используемое на практике правило трех сигм гласит, что практически достоверно, что значения нормально распределенной случайной величины заключены в интервале ( a –3 Г , a +3 Г ), т.е. практически весь диапазон ее значении составляет шесть сигм. Об этом говорит теорема Ляпунова.

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому при некоторых весьма часто встречающихся условиях приводит совокупное действие (сумма) п независимых случайных величин при