Тема 3. Повторные независимые испытания

В теме 3 «Повторные независимые испытания» изучается схема Бернулл u – последовательность независимых испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с одной и той же вероятностью независимо от исходов других испытаний.

Для нахождения вероятности P m , n того, что А появилось m раз в n независимых испытаниях, если n – небольшое число, используется точная формула Бернулли:

где При больших n нахождение вероятностей по указанной формуле представляет собой довольно сложную техническую задачу, однако во многих случаях ту же вероятность удается найти приближенно с помощью асимптотических формул. Поэтому при достаточно большом числе n испытаний для нахождения вероятности P m , n того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, используется формула Пуассона (если вероятность р – мала, так что число) или локальная формула Муавра – Лапласа (если вероятность р не близка к нулю и единице и произведениегдеЕсли необходимо найти вероятности числа m (частности m / n ) появления события, заключенного (ной) в некоторых пределах, то при том же условииможет быть использована интегральная теорема Муавра – Лапласа и ее следствия.

Обратите внимание, что используемые в отмеченных выше асимптотических формулах функции ПуассонаГаусса f ( х) и Лапласа Ф( x ) табулированы (см. соответственно таблицы 3, 1 и 2 приложений к учебнику), и расчеты вероятностей по этим формулам рекомендуется проводить с помощью соответствующих таблиц. При этом надо учитывать, что функция Гаусса– четная, т.е. f ( – x ) = f ( x ), а функция Лапласа Ф( х) – нечетная, т.е. Ф( –х) =Ф( х) , а при х>4 можно считать, чтоа Ф( х) 1 .