Основные понятия теории игр

Теория игр представляет собой активно развивающуюся математическую дисциплину, предметом исследования которой являются методы принятия решений в конфликтных ситуациях. Ситуация называется конфликтной, если в ней сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующих различные или противоположные цели. Каждая из сторон может осуществлять какие-то мероприятия для достижения своих целей, причем успех одной стороны означает обычно неудачу другой. Первые работы по теории игр (Дж.фон Неймана и О.Моргенштерна) рассматривали конфликтные ситуации в экономике, когда при наличии свободной конкуренции борющимися сторонами выступали предприятия, торговые фирмы и т.п. Примеры конфликтных ситуаций многообразны. Они встречаются при планировании военных операций, охране объектов от нападения, выборе системы оружия, на спортивных состязаниях, выборах при наличии нескольких кандидатов, в судопроизводстве и многих других областях. В современном планировании и экономике большое значение имеют деловые игры.

Игрой называется упрощенная формализованная модель конфликтной ситуации, а конфликтующие стороны называются игроками. От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Каждый случай разыгрывания игры от начала и до конца представляет собой партию игры. Элементами игры являются ходы, которые могут быть личными и случайными. При личном ходе игрок сознательно выбирает то или иное действие из предусмотренного правилами игры множества действий. Например, личным ходом является любой ход в шахматах, шашках. При случайном ходе выбор осуществляется посредством некоторого механизма случайного выбора (бросание монете, игральной кости и т.п.). Так называемые «чисто азартные» игры состоят только из случайных ходов. Теория игр не рассматривает такие игры. Ее цель – нахождение оптимального поведения игрока в игре, где имеются личные ходы, возможно, наряду со случайными. Такие игры называются стратегическими.

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор варианта действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Эта совокупность правил должна быть «всеобъемлющей», т.е.-должна указывать как действовать в любой ситуации, которая может возникнуть в процессе игры. Если игра состоит только из личных ходов и каждый игрок выбрал свою стратегию, то исход игры определен. Однако, если в игре имеются случайные ходы, то игра будет носить вероятностный характер и выбор стратегий игроками еще не определит окончательно исход игры. Оптимальной стратегией игрока называется стратегия, которая обеспечивает ему наилучшее положение в игре, т.е. максимальный выигрыш (или минимальный проигрыш, если игра такова, что в ней игрок всегда проигрывает). При неоднократном повторении игры и наличии в ней, кроме личных, еще и случайных ходов, оптимальная стратегия обеспечивает игроку максимальный средний выигрыш.

Игра называется игрой с полной информацией, если каждый игрок при каждом личном ходе знает всю предысторию развития игры, т.е. результаты всех предыдущих личных и случайных ходов. Примерами таких игр являются шахматы, шашки и т.п. Если вся предыстория развития игры неизвестна игрокам,» то игра называется игрой с неполной информацией. К игровым моделям с неполной информацией сводится, в частности, планирование военных операций. Игра называется игрой с нулевой суммой, если суммарный выигрыш всех игроков равен нулю. Такой игрой является, например, антагонистическая игра двух сторон. Следует отметить, что наиболее исследованы в теории игр именно антагонистические игры.