logo
Попередня обробка результатів вимірювань (ЛЕК)

2.9. Графоаналітичний спосіб перевірки

відповідності дослідного розподілу нормальному

Цей спосіб передбачає використання ймовірнісної сітки, на якій за певними правилами будується графік емпіричного розподілу для аналізуємої вибірки. За конфігурацією цього графіка судять про те, чи відповідає дослідний розподіл нормальному закону (ГОСТ 11.008–75).

Існує декілька варіантів такої побудови. Розглянемо найбільш зручний з них – з простими обчисленнями і прямолінійним графіком для нормального закону розподілу [2]. Даний варіант може використовуватись у вибірках з числом спостережень від 3 до 40.

Таблиця 2.5

1

2

3

4

5

6

Перш за все вибірку впорядковують у вигляді варіаційного ряду. Дані розрахунку заносять у таблицю (табл. 2.5). Якщо якесь значення результатів спостережень у такому варіаційному ряді повторюється кілька разів, то в таблицю вони записуються в другий стовпчик тільки один раз, але вказують (в третьому стовпчику) кількість цих однакових значень (тобто частоту nj даної варіанти xj в упорядкованій вибірці). Для значень xj , які не повто-рюються, частота nj =1.

Унаступному четвертому стовпчику з наростаючим підсумком записують так звані“накопичені частоти“ Nj, тобто сума значень nj від початку до даного xj включно: , для останнього-го рядка. Після чого обчислюють значення інтеграла Лапласа згідно з виразом

Ф( yj ) , (2.48)

які заносять у п’ятий стовпчик.

Знаючи Ф( yj ) по відповідних таблицях можна знайти значення yj для цього може бути використана таблиця додатку 2, однак зручніше користуватись спеціальною “оберненою“ таблицею (див. додаток 14). Для кожної пари значень xj i yj відмічають точки в прямокутній координатній системі з рівно-мірними шкалами як по осі абсцис x, так і по осі ординат y. З’єднавши точки, отримаємо графік функції yj= ( xj ). Якщо цей графік прямолінійний, то дана вибірка не суперечить нормальному закону розподілу, якщо ж графік криволінійний, то вибірка не відповідає нормальному закону. По формі кривої можна наближено судити про характер закону розподілу (рис. 2.5). Правостороння асиметрія означає, що права гілка кривої пологіша (більш витягнута) ніж ліва і, навпаки, при лівосторонній асиметрії – більш витягнута ліва гілка.

Додатки

Додаток 1. Густина стандартного нормального розподілу

y

f( y )

y

f( y )

y

f( y )

0

0,3989

1,4

0,1497

2,8

0,0079

0,1

0,3970

1,5

0,1295

2,9

0,0060

0,2

0,3910

1,6

0,1109

3,0

0,0044

0,3

0,3814

1,7

0,0940

3,1

0,0033

0,4

0,3683

1,8

0,0790

3,2

0,0024

0,5

0,3521

1,9

0,0656

3,3

0,0017

0,6

0,3332

2,0

0,0540

3,4

0,0012

0,7

0,3123

2,1

0,0440

3,5

0,0009

0,8

0,2897

2,2

0,0355

3,6

0,0006

0,9

0,2661

2,3

0,0283

3,7

0,0004

1,0

0,2420

2,4

0,0224

3,8

0,0003

1,1

0,2179

2,5

0,0175

3,9

0,0002

1,2

0,1942

2,6

0,0136

4,0

0,0001

1,3

0,1714

2,7

0,0104

Додаток 2. Інтеграл Лапласа Ф( y )

y

Ф( y )

y

Ф( y )

y

Ф( y )

0,00

0,0000

0,75

0,2734

1,50

0,4332

01

0040

76

2764

51

4345

02

0080

77

2794

52

4357

03

0120

78

2823

53

4370

04

0160

79

2852

54

4382

0,05

0,0199

0,80

0,2881

1,55

0,4394

06

0239

81

2910

56

4406

07

0279

82

2939

57

4418

08

0319

83

2967

58

4430

09

0359

84

2995

59

4441

0,10

0,0398

0,85

0,3023

1,60

0,4452

11

0438

86

3051

61

4463

12

0478

87

3078

62

4474

13

0517

88

3106

63

4484

14

0557

89

3133

64

4495

0,15

0,0596

0,90

0,3159

1,65

0,4505

16

0636

91

3186

66

4515

17

0675

92

3212

67

4525

18

0714

93

3238

68

4535

19

0753

94

3264

69

4545

0,20

0,0793

0,95

0,3289

1,70

0,4554

21

0832

96

3315

71

4564

22

0871

97

3340

72

4573

23

0910

98

3365

73

4582

24

0948

99

3389

74

4591

0,25

0,0987

1,00

3413

1,75

0,4599

26

1026

01

3438

76

4608

27

1064

02

3461

77

4616

28

1103

03

3485

78

4625

29

1141

04

3508

79

4633

0,30

0,1179

1,05

0,3531

1,80

0,4641

31

1217

06

3554

81

4648

32

1255

07

3577

82

4656

33

1293

08

3599

83

4664

34

1331

09

3621

84

4671

0,35

0,1368

1,10

0,3643

1,85

0,4678

36

1406

11

3665

86

4686

37

1443

12

3686

87

4693

38

1480

13

3708

88

4700

39

1517

14

3729

89

4706

0,40

0,1554

1,15

0,3749

1,90

0,4713

41

1591

16

3770

91

4719

42

1628

17

3790

92

4726

43

1664

18

3810

93

4732

44

1700

19

3830

94

4738

0,45

0,1736

1,20

0,3849

1,95

0,4744

46

1772

21

3869

96

4750

47

1808

22

3888

97

4756

48

1844

23

3907

98

4762

49

1879

24

3925

99

4767

0,50

0,1915

1,25

0,3944

2,00

0,4772

51

1950

26

3962

05

4798

52

1985

27

3980

10

4821

53

2019

28

3997

15

4842

54

2054

29

4015

20

4861

0,55

0,2088

1,30

0,4032

2,25

0,4878

56

2123

31

4049

30

4893

57

2157

32

4066

35

4906

58

2190

33

4082

40

4918

59

2224

34

4099

45

4929

0,60

0,2257

1,35

0,4115

2,50

0,4938

61

2291

36

4131

55

4946

62

2324

37

4147

60

4953

63

2357

38

4162

65

4960

64

2389

39

4177

70

4965

0,65

2422

1,40

0,4192

2,75

0,4970

66

2454

41

4207

80

4974

67

2486

42

4222

85

4978

68

2517

43

4236

90

4981

69

2549

44

4251

95

4984

0,70

0,2580

1,45

0,4265

3,00

0,4986

71

2611

46

4278

10

4990

72

2642

47

4292

20

4993

73

2673

48

4306

30

4995

74

2703

49

4319

40

4997

4,00

0,4999

Додаток 3. Квантілі нормального розподілу (при та )

x

x

0,0013

0,13

- 3,0000

0,6

60

0,2019

0,0025

0,25

- 2,8070

0,7

70

0,5244

0,0050

0.50

- 2,5758

0,8

80

0,8416

0,0100

1,00

- 2,3263

0,9

90

1,2816

0,0228

2,28

- 2,0000

0,95

95

1,6449

0,025

2,5

- 1,9560

0,975

97,5

1,9560

0,05

5

- 1,6449

0,9772

97,72

2,0000

0,1

10

- 1,2816

0,9900

99,00

2,3263

0,2

20

- 0,8416

0,9950

99,50

2,5758

0,3

30

- 0,5244

0,9975

99,75

2,8070

0,4

40

- 0,2019

0,9987

99,87

3,0000

0,5

50

0,0000

Додаток 4. Коефіцієнт Mk

k

Mk

k

Mk

k

Mk

1

1,253

10

1,025

19

1,013

2

1,128

11

1,023

20

1,013

3

1,085

12

1,021

25

1,010

4

1,064

13

1,019

30

1,008

5

1,051

14

1,018

35

1,007

6

1,042

15

1,017

40

1,006

7

1,036

16

1,016

45

1,006

8

1,032

17

1,015

50

1,005

9

1,028

18

1,014

60

1,004

Додаток 5. Коефіцієнт довіри

k

При

k

При

0,95

0,99

0,999

0,95

0,99

0,999

1

12,706

63,657

636,619

19

2,093

2,861

3,883

2

4,303

9,925

31,598

20

2,086

2,845

3,850

3

3,182

5,841

12,941

21

2,080

2,831

3,819

4

2,776

4,604

8,610

22

2,074

2,819

3,792

5

2,571

4,032

6,859

23

2,069

2,807

3,797

6

2,447

3,707

5,959

24

2,064

2,797

3,745

7

2,365

3,499

5,405

25

2,060

2,787

3,725

8

2,306

3,355

5,041

26

2,056

2,779

3,707

9

2,262

3,250

4,781

27

2,052

2,763

3,674

10

2,228

3,169

4,587

28

2,048

2,763

3,674

11

2,201

3,106

4,437

29

2,045

2,756

3,659

12

2,179

3,055

4,318

30

2,042

2,750

3,646

13

2,160

3,012

4,221

40

2,021

2,704

3,551

14

2,145

2,977

4,140

50

2,008

2,677

3,497

15

2,131

2,947

4,073

60

2,000

2,660

3,460

16

2,120

2,921

4,015

80

1,990

2,639

3,416

17

2,110

2,898

3,965

100

1,984

2,626

3,391

18

2,101

2,878

3,922

1,960

2,576

3,291

Додаток 6. Значення (для =0,95)

3

1,15

9

2,11

15

2,41

21

2,58

27

2,68

4

1,46

10

2,18

16

2,44

22

2,59

28

2,69

5

1,67

11

2,23

17

2,48

23

2,61

29

2,69

6

1,82

12

2,29

18

2,50

24

2,63

30

2,70

7

1,94

13

2,33

19

2,53

25

2,65

8

2,03

14

2,37

20

2,56

26

2,66

Додаток 8. Значення функції a

Зна­чен­ня

Другий знак після коми значення

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,0

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,000

0,1

0,000

0,000

0,000

0,000

0,001

0,001

0,002

0,003

0,005

0,007

0,2

0,010

0,013

0,016

0,020

0,025

0,030

0,035

0,041

0,048

0,055

0,3

0,062

0,070

0,078

0,086

0,095

0,104

0,113

0,122

0,132

0,141

0,4

0,151

0,161

0,171

0,181

0,192

0,202

0,212

0,222

0,233

0,243

0,5

0,253

0,263

0,274

0,284

0,294

0,304

0,313

0,323

0,333

0,343

0,6

0,352

0,361

0,371

0,380

0,389

0,398

0,407

0,416

0,424

0,433

0,7

0,441

0,449

0,458

0,466

0,474

0,482

0,489

0,497

0,504

0,512

0,8

0,519

0,526

0,533

0,540

0,547

0,554

0,560

0,567

0,573

0,580

0,9

0,586

0,592

0,598

0,604

0,610

0,615

0,621

0,627

0,632

0,637

1,0

0,643

0,648

0,653

0,658

0,663

0,668

0,673

0,677

0,682

0.687

1,1

0,691

0,696

0,700

0,704

0,709

0,713

0,717

0,721

0,725

0,729

1,2

0,732

0,736

0,740

0,744

0,747

0,751

0,754

0,758

0,761

0,764

1,3

0,768

0,771

0,774

0,777

0,780

0,783

0,786

0,789

0,792

0,795

1,4

0,798

0,800

0,803

0,806

0,809

0,811

0,814

0,816

0,819

0,821

1,5

0,824

0,826

0,828

0,831

0,833

0,835

0,837

0,839

0,842

0,844

1,6

0,846

0,848

0,850

0,852

0,854

0,856

0,858

0,859

0,861

0,863

1,7

0,865

0,867

0,868

0,870

0,872

0,873

0,875

0,877

0,878

0,880

1,8

0,881

0,883

0,884

0,886

0,887

0,889

0,890

0,892

0,893

0,894

1,9

0,896

0,897

0,898

0,900

0,901

0,902

0,903

0,905

0,906

0,907

2,0

0,908

0,909

0,910

0,912

0,913

0,914

0,915

0,916

0,917

0,918

2,1

0,919

0,920

0,921

0,922

0,923

0,924

0,925

0,926

0,927

0,928

2,2

0,929

0,929

0,930

0,931

0,932

0,933

0,934

0,934

0,935

0,936

2,3

0,937

0,938

0,938

0,939

0,940

0,941

0,941

0,942

0,943

0,943

2,4

0,944

0,945

0,945

0,946

0,947

0,947

0,948

0,949

0,949

0,950

Додаток 11. Значення Р – процентних точок