3. Логическая схема решения

В соответствии с физической моделью, данную задачу можно разбить на две подзадачи: столкновение и качение.

Описание столкновения. При столкновении пули и шара сохраняется полный импульс и момент импульса системы. Математически это выглядит так:

При написании последнего уравнения учтено, что ось вращения проходит через центр масс шара и параллельна плоскости качения.

Итак, сразу же после столкновения центр масс шара движется со скоростью -

,

а сам шар вращается с угловой скоростью-

Легко видеть, что

.

Это означает, что качение тела начинается с проскальзывания.

Описание качения

Эта подзадача во многом повторяет задачу о качении колеса (см. задачу 1). Поэтому, воспользуемся пояснениями предыдущей задачи.

Уравнения движения шара после столкновения:

Разделим первое уравнение на второе:

Преобразуем это уравнение к виду удобному для интегрирования:

и проинтегрируем в пределах от U_o до U_кач и от _o до _{кач .}

При интегрировании необходимо учесть один нюанс. Он связан с тем, что знаки ₀ и _кач разные. Это показано на рисунке:

С учетом сказанного:

,

,

.