1. Бесконечно малые и их сравнения; символы "o малое" и "о большое"

Определение. Бесконечно малой в x₀ называется функция f (x) такая, что

Свойства бесконечно малых функций:

1) Критерий существования конечного предела функции

б. м. функция (x) при xx₀: f (x) =A+ (x)

2) (x), (x) б. м. (x) + (x) б. м.

3) Произведение бесконечно малой функции на ограниченную является бесконечно малой функцией.

4) Произведение бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

Определение. f (x) определенная в проколотой окрестности x₀ называется бесконечно большой в т. x₀, если .

5) Если (x) б. м. при xx₀ и (x) 0, то 1/ (x) является бесконечно большой и наоборот. Символически это записывают в виде 1/=0, 1/0=.

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Символы O, o

f,g определенны в некоторой проколотой окрестности x₀

Пишут

,

Если

.

Аналогично определяется O при xx₀+0, xx_{0 -} 0, x, x.

Пример: f (x) =O (1),x означает локальную ограниченность функции в .

Опр. Если при xx₀, f (x) =O (g) и g (x) =O (f), то f (x), g (x) называются функциями одного порядка.

Пример: Функции x³,x² являются функциями одного порядка при x1.

Определение o. Пусть f (x), g (x) определенны в некоторой проколотой окрестности точки x₀, пишут f (x) =o (g (x)), xx₀, если

б. м. (x) при xx_0, такая, чтоx: f (x) = (x) g (x)

Аналогично определяется o при xx₀+0, xx_{0 -} 0, x, x.

Пример: f (x) =o (1), при xx₀ означает, что f (x) бесконечно малая при xx₀.

Некоторые примеры работы с символами o (подразумевается x0).

o (xⁿ) o (xⁿ) = o (xⁿ)

x^m o (xⁿ) = o (x^n+m)

c o (xⁿ) = o (xⁿ) (c-константа)

o (xⁿ) o (x^n+p) = o (xⁿ), здесь p натуральное.

o (x^n+p) /x^p= o (xⁿ) В частности, o (x^p) /x^p= o (1).

o (a_n xⁿ a_n+1 xⁿ⁺¹… a_n+p x^n+p) = o (xⁿ)

Если , б. м. и =o (), то говорят, что бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Определение. Функции f (x), g (x) называются эквивалентными в x₀ (говорят так же, в окрестности x₀), если выполнено хотя бы одно из двух условий

f (x) =g (x) +o (g (x)), xx₀

g (x) =f (x) +o (f (x)), xx_0.

Условие эквивалентности записывается в виде fg, при xx_0.

Замечание 1. Если выполнено одно из этих условий, то будет выполнено и второе.

Замечание 2. Эти условия можно записать в другой форме. Например, первое из них: в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство

f (x) =h (x) g (x), =1.

Замечание 3. Если, например, g (x) 0, то первое условие можно записать в виде

.

Определение. Если f (x) (x-x₀) ⁿ при xx₀, то f (x) называется бесконечно малой порядка n при xx₀.

Если f (x) при xx₀, то f (x) называется бесконечно большой порядка n при xx₀.

Если f (x) бесконечно большая при x и f (x) эквивалентна xⁿ при x, то f (x) называется бесконечно большой порядка n при x.

Замечание. Если f (x) бесконечно малая порядка n, то 1/f (x) будет бесконечно большой порядка n и наоборот.

Примеры. Определить характер функций

, в 0, 1,+.

При вычислении пределов полезна следующая теорема

Теорема 2. Пусть f эквивалентна f₁, g эквивалентна g₁ при xx₀.

Если существует предел , тогда существует и .

Если существует предел , тогда существует и .

Определение. Если , то g называется главной частью f при x x₀.