4.4 Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
ex, x0=0
, (0,x),
если x>0 или (x,0) в случае x <0.
Например, при |x|<1, |Rn (x) |
sin x, x0=0
Вспомогательная формула:
sin x ==, x0,
выберем m=2n+2, тогда
sin x=, x0,
откуда, с учетом равенства f (2n+2) (0) =0, получаем разложение для синуса
sin x=, x0
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
sin x =, (0,x) (или (x,0)).
Действительно,
sin x =
===.
Откуда следует, что
cos x, x0=0
Вспомогательная формула:
=, x0,
выберем m=2n+1, тогда
cos x=, x0,
откуда, с учетом равенства f (2n+1) (0) =0, получаем разложение для косинуса
cos x=, x0
В формуле Тейлора с остатком Лагранжа
cos x =, (0,x) (или (x,0)).
Действительно,
cos x =
===.
Откуда следует, что
ln (1+x), x0=0
, x0
(1+x) , x0=0,
интерес представляет случай, когда не является натуральным числом.
f= (1+x) -1,…,f (k) = ( - 1) … ( - k+1) (1+x) - k
, x0
Важный частный случай
==.
- Введение
- 1. Бесконечно малые и их сравнения; символы "o малое" и "о большое"
- 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
- 2.1 Теорема Ферма о нуле производной
- 2.2 Теорема Ролля о нуле производной
- 2.3 Теорема Лагранжа о конечных приращениях
- 2.4 Теорема Коши о конечных приращениях
- 3. Раскрытие неопределенностей. правило лопиталя
- 3.1 Раскрытие неопределенностей вида 0/0
- 3.2 Раскрытие неопределенностей вида /
- 3.3 Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
- 3.4 Раскрытие неопределенностей вида 0, 1, 00,0, -
- 4. Формула тейлора. вычисление пределов с помощью формулы тейлора
- 4.1 Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn.
- 4.2 Остаток в форме Пеано
- 4.3 Другие формы остатка в формуле Тейлора
- 4.4 Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
- 4.5 Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
- 4.6 Формула Тейлора для четных и нечетных функций
- Заключение
- Применение производной для нахождения пределов
- 3. Предел и производная функции одной переменной
- 2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
- §2. Применение производной к нахождению пределов функций. Правило Лопиталя.
- 5.5. Схема нахождения производной
- Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя)
- 2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
- 8. Применение производной при вычислении пределов
- Применение производной при вычислении пределов
- Правило Лопиталя и его применение к нахождению предела функции.