Применение производной при нахождении предела

курсовая работа

4.4 Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора

ex, x0=0

, (0,x),

если x>0 или (x,0) в случае x <0.

Например, при |x|<1, |Rn (x) |

sin x, x0=0

Вспомогательная формула:

sin x ==, x0,

выберем m=2n+2, тогда

sin x=, x0,

откуда, с учетом равенства f (2n+2) (0) =0, получаем разложение для синуса

sin x=, x0

В формуле Тейлора с остатком Лагранжа

sin x =, (0,x) (или (x,0)).

Действительно,

sin x =

===.

Откуда следует, что

cos x, x0=0

Вспомогательная формула:

=, x0,

выберем m=2n+1, тогда

cos x=, x0,

откуда, с учетом равенства f (2n+1) (0) =0, получаем разложение для косинуса

cos x=, x0

В формуле Тейлора с остатком Лагранжа

cos x =, (0,x) (или (x,0)).

Действительно,

cos x =

===.

Откуда следует, что

ln (1+x), x0=0

, x0

(1+x) , x0=0,

интерес представляет случай, когда не является натуральным числом.

f= (1+x) -1,…,f (k) = ( - 1) … ( - k+1) (1+x) - k

, x0

Важный частный случай

==.

Делись добром ;)