1.3 Игра порядка 22

Матричная игра порядка 22 задается следующей матрицей выигрышей первого игрока:

. (1.21)

Решение этой игры следует начинать с отыскания седловой точки в чистых стратегиях. С этой целью находят минимальный элемент в первой строке и проверяют, является ли он максимальным в своем столбце. Если такого элемента не нашли, то аналогично проверяют вторую строку. Если во второй строке такой элемент найден, то он является седловым.[2]

Отысканием седлового элемента, если такой имеется, заканчивается процесс нахождения ее решения, так как в этом случае найдена цена игры --седловой элемент и седловая точка, т. е. пара чистых стратегий, для первого и второго игрока, составляющих оптимальные чистые стратегии. Если же седловой точки в чистых стратегиях не оказалось, то надо отыскать седловую точку в смешанных стратегиях, которая обязательно существует согласно основной теореме матричных игр.[2]

Обозначим через х=(х₁,х₂), у=(у₁,у₂) смешанные стратегии соответственно первого и второго игроков. Напомним, что х₁ означает вероятность применения первым игроком своей первой стратегии, а х₂ = 1 - х₁ - вероятность применения им своей второй стратегии. Аналогично для второго игрока: у₁ - вероятность применения им первой стратегии, у₂ = 1 - у₁ - вероятность применения им второй стратегии.

Согласно следствию из теореме, для оптимальности смешанных стратегий х и у необходимо и достаточно, чтобы для неотрицательных х₁, х₂, у₁, у₂ выполнялись следующие соотношения:

(1.22)

(1.23)

Покажем теперь, что если матричная игра не имеет седловой точки в чистых стратегиях, то эти неравенства должны превращаться в равенства:

(1.24)

В самом деле. Пусть игра не имеет седловой точки в чистых стратегиях, тогда оптимальные значения смешанных стратегий удовлетворяют неравенствам

0<<1, 0<< 1,

0< <1, 01. (1.25)

Предположим, что оба неравенства из (1.22) будут строгими

тогда согласно теореме должно у₁= у₂ = 0, что противоречит условиям (1.25).

Аналогично доказывается, что оба неравенства из (1.23) не могут быть строгими неравенствами.[2]

Предположим теперь, что одно из неравенств (1.22) может быть строгим, например первое

(1.26)

Это значит, что согласно теореме у₁ = 0, у₂ =1. Следовательно, из (1.23) получаем

(1.27)

Если оба неравенства (1.24) строгие, то по теореме должно х₁ = х₂ = 0, что противоречит (1.25). Если же а₁₂ а₂₂, то одно из неравенств (1.27) строгое, а другое -- равенство. Причем равенство будет выполняться для большего элемента из а₁₂ и а₂₂, т. е. одно неравенство из (1.27) должно быть строгим. Например а₁₂ < а₂₂. Тогда справедливо а₁₂ < v, а это равносильно тому, что первое неравенство из (1.24) строгое. Тогда согласно теореме должно х₁ = 0, что противоречит условию (1.25). Если а₁₂ = а₂₂, то оба неравенства (1.27) превращаются в равенства и тогда можно положить х₁= 0, что противоречит (1.25). Итак, предположение о том, что первое неравенство из (1.22) может быть строгим, не справедливо. Аналогично можно показать, что второе неравенство из (1.22) также не может быть строгим.

Таким образом показано, что если матричная игра не имеет седловой точки в чистых стратегиях, то для оптимальных стратегий первого игрока неравенства (1.22) превращаются в равенства. Аналогичные рассуждения относительно неравенств (1.23) приведут к тому, что в этом случае неравенства (1.23) должны быть равенствами.

Итак, если матричная игра порядка 22 не имеет седловой точки, то оптимальные смешанные стратегии игроков и цену игры можно определить, решив систему уравнений (1.24). Установлено также, что если в матричной игре порядка 2x2 один из игроков имеет оптимальную чистую стратегию, то и другой игрок также имеет оптимальную чистую стратегию.

Следовательно, если матричная игра не имеет седловой точки в чистых стратегиях, то она должна иметь решение в смешанных стратегиях, которые определяются из уравнений (1.24). Решение системы (1.25)[2]

, , (1.28)

, ,

. (1.29)