Антагонистическая игра

контрольная работа

2.5 Матричный метод

Два конкурирующих друг с другом ресторана(предприятия общественного питания) предоставляют следующие наборы услуг. Первый ресторан расположен в центре, а другая на окраине города.

Центральный ресторан включает следующие услуги:

1) более дорогое и качественное обслуживание клиентов;

2) блюда ориентированы на французскую кухню;

Второй ресторан предоставляет:

1) не дорогое и качественное обслуживание;

2) меню сочетает в себе различные известные кухни мира;

3) также постоянные акции и скидки;

4) осуществляет доставку и принимает заказы по доставке на дом.

В соответствии с заданием прибыль за один день между двумя ресторанами распределится следующим образом:

Таблица 2. Матрица выигрышей

Стратегии

Игрок 2

y1

y2

y3

y4

Игрок 1

x1

15

26

14

17

x2

17

11

22

12

Решение игры вида [2xn] матричным способом:

Существует шесть подматриц и :

, , , , .

Рассмотрим матрицу :

, ,

= ,

x1= ? 0, x2= ? 0

Так как x2= < 0, то мы отбрасываем .

Рассмотрим теперь матрицу :

, ,

= ,

x1= ? 0, x2= ? 0

,

y1= ? 0, y2= ? 0, то продолжаем дальше:

Или

- цена игры.

Теперь проверяются основные соотношения:

Это соотношение противоречит требованию , поэтому не подходит.

Рассмотрим теперь матрицу :

, ,

= ,

x1= , x2= ? 0,

,

y1= < 0, y2= ? 0.

Так как y1= < 0, то мы отбрасываем и .

Рассмотрим теперь матрицу :

, ,

= ,

x1= , x2= 0, так как x2= 0, то мы отбрасываем и .

Рассмотрим теперь матрицу :

, ,

= ,

x1= , x2= ? 0. Так как x1= 0, то мы отбрасываем и .

Рассмотрим теперь матрицу :

, ,

= ,

,

x1= , x2=, y1= , y2=, то продолжаем дальше:

x1= , x2=, y1= , y2= или

- цена игры.

Теперь проверяются основные соотношения:

и , тогда

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ответ: x1= , x2=, y1= , y2= , y3=0, y4=0,.

Метод Брауна

По требованию рабочих некоторой компании профсоюз ведет с ее руководством переговоры об организации горячих обедов за счет компании. Профсоюз, представляющий интересы рабочих, добивается того, чтобы обед был как можно более качественным и, следовательно, более дорогим. Руководство компании имеет противоположные интересы. В конце концов стороны договорились о следующем. Профсоюз (игрок 1) выбирает одну из трех фирм (А1, А2, А3), поставляющих горячее питание, а руководство компании (игрок 2) -- набор блюд из трех возможных вариантов (B1, B2, B3). После подписания соглашения профсоюз формирует следующую платежную матрицу, элементы которой представляют стоимость набора блюд:

Пусть игра задана следующей матрицей выигрышей:

Решение:

Предположим, что второй игрок выбрал свою 2-ю стратегию, тогда первый получит:

2, если он применит свою 1-ю стратегию,

3, если он применит свою 2-ю стратегию,

3, если он применит свою 3-ю стратегию.

Полученные значения сводится в таблицу 1.

Таблица 3. Стратегия второго игрока

№ партии

Стратегия 2-го игрока

Выигрыш 1-го игрока

1

2

3

1

2

2

3

3

Из таблицы 3 видно, что при 2-й стратегии второго игрока первый получит наибольший выигрыш 3, используя свою 2-ю либо 3-ю стратегию. Поскольку первый игрок желает получить максимальный выигрыш, то он на 2-ю стратегию второго игрока отвечает своей 2-й стратегией. При 2-й стратегии первого игрока второй проиграет:

1, если он применит свою 1-ю стратегию,

3, если он применит свою 2-ю стратегию,

4, если он применит свою 3-ю стратегию.

Таблица 4. Стратегия первого игрока

№ партии

Стратегия 1-го игрока

Проигрыш 2-го игрока

1

2

3

1

2

1

3

4

Из таблицы 2 видно, что при 2-й стратегии первого игрока второй игрок будет иметь наименьший проигрыш 1, если он применит свою 1-ю стратегию. Поскольку второй игрок желает проиграть меньше, то в ответ на 2-ю стратегию первого игрока он применит свою 1-ю стратегию. Полученные результаты сводятся в таблицу 5.

Таблица 5. Стратегии соответственно первого и второго игроков

№ партии

Стратегия 2-го игрока

Суммарный выигрыш 1-го игрока

Стратегия 1-го игрока

Суммарный проигрыш 2-го игрока

u

w

v

1

2

3

1

2

3

1

2

2

3

3

2

1

3

4

3

1

2

2

1

В табл. 5 в столбце стратегии второго игрока во второй строке находится цифра 1, которая указывает, что во второй партии второму игроку выгодно применять свою 1-ю стратегию; в столбце и находится наибольший средний выигрыш 3 первого игрока, полученный им в первой партии; в столбце w стоит наименьший средний проигрыш 1, полученный вторым игроком в первой партии; в столбце v находится среднее арифметическое v = (и + w) -- т. е. приближенное значение цены игры, полученное в результате проигрывания одной партии игры. Если второй игрок применит свою 1-ю стратегию, то первый получит 3, 1, 2 соответственно при своих 1-й, 2-й, 3-й стратегиях, а суммарный выигрыш первого игрока за обе партии составит:

2 + 3=5 при его 1-й стратегии,

3 + 1=4 при его 2-й стратегии,

3 + 2=5 при его 3-й стратегии.

Эти суммарные выигрыши записываются во второй строке табл. 3 и в столбцах, соответствующих стратегиям первого игрока: 1, 2, 3.

Из всех суммарных выигрышей наибольшим является 5. Он получается при 1-й и 3-й стратегии первого игрока, то ему можно выбирать любую из них; скажем, в таких случаях, когда имеются два (или несколько) одинаковых суммарных выигрышей, выбирают стратегию с наименьшим номером (в нашем случае надо взять 1-ю стратегию).

При 1-й стратегии первого игрока второй проиграет 3, 2, 3 соответственно 1-й, 2-й, 3-й его стратегиям, а суммарный проигрыш второго игрока за обе партии составит:

1 + 3=4 при его 1-й стратегии,

3 + 2=5 при его 2-й стратегии,

4 + 3=7 при его 3-й стратегии.

Эти суммарные проигрыши записываются во второй строке табл. 5 и в столбцах, соответствующих 1-й, 2-й, 3-й стратегиям второго игрока.

Из всех суммарных проигрышей второго игрока наименьшим является 4. Он получается при его 1-й стратегии, следовательно, в третьей партии второй игрок должен применить свою 1-ю стратегию. В столбец и ставится наибольший суммарный выигрыш первого игрока за две партии, деленный на число партий, т. е. ; в столбец w ставится наименьший суммарный проигрыш второго игрока за две партии, деленный на число партий, т. е. ; в столбце v ставится среднее арифметическое этих значений, т. е. = Это число принимается приближенное значение цены игры при двух «сыгранных» партиях.

Таким образом, получается следующая таблица 4, для двух партий игры.

Таблица 6. Суммарные выигрыш и проигрыш игроков при двух сыгранных партиях

партии

Стратегия 2-го игрока

Суммарный выигрыш 1-го игрока

Стратегия 1-го игрока

Суммарный проигрыш 2-го игрока

u

w

v

1

2

3

1

2

3

1

2

2

3

3

2

1

3

4

3

1

2

2

1

5

4

5

1

4

5

7

5/2

4/2

9/4

3

1

В третьей строке таблицы 6 в столбце стратегии второго игрока находится число 1, которое показывает, что в третьей партии второй игрок должен применить свою 1-ю стратегию. В этом случае первый игрок выигрывает 3, 1, 2, используя соответственно свои 1-ю, 2-ю, 3-ю стратегии, а его суммарный выигрыш за три партии составит:

3 + 5 = 8 при его 1-й стратегии,

1 +4 = 5 при его 2-й стратегии,

2 + 5 = 7 при его 3-й стратегии.

Эти суммарные выигрыши первого игрока записываются в третьей строке таблица 6 и столбцах, соответствующих его стратегиям 1, 2, 3. Так как наибольший суммарный выигрыш 8 первого игрока получается при 1-й стратегии, соответственно выбирает 1-ю.

При 1-й стратегии первого игрока второй проиграет 3, 1, 2 соответственно 1-й, 2-й, 3-й его стратегиям, а суммарный проигрыш второго игрока за обе партии составит:

3 + 4=7 при его 1-й стратегии,

2 + 5=7 при его 2-й стратегии,

3 + 7=10 при его 3-й стратегии.

Эти суммарные проигрыши записываются во третьей строке табл. 6 и в столбцах, соответствующих 1-й, 2-й, 3-й стратегиям второго игрока. Из всех суммарных его проигрышей 7 является наименьшим и получается при его 1-й и 2-й стратегиях, далее второму игроку надо применить свою 1-ю стратегию.

В табл. 6 в третьей строке в столбце и записывается наибольший суммарный выигрыш первого игрока за три партии, деленный на число партии, т. е. ; в столбце w ставится наименьший суммарный проигрыш второго игрока за три партии, деленный на число партий, т. е. ; в столбце v ставится их среднее арифметическое

= = .

Таким образом получаем табл. 7 для трех партий.

Таблица 7. Суммарные выигрыш и проигрыш игроков при трех сыгранных партиях

№ партии

Стратегия 2-го игрока

Суммарный выигрыш 1-го игрока

Стратегия 1-го игрока

Суммарный проигрыш 2-го игрока

u

w

v

1

2

3

1

2

3

1

2

2

3

3

2

1

3

4

3

1

2

2

1

5

4

5

1

4

5

7

5/2

4/2

9/4

3

1

8

5

7

1

7

7

10

8/3

7/3

15/6

4

1

Продолжая этот процесс далее, составим табл. 8 партии от четвёртой до двадцатой.

Таблица 8. Конечная таблица при двадцати сыгранных партиях

№ партии

Стратегия 2-го игрока

Суммарный выигрыш 1-го игрока

Стратегия 1-го игрока

Суммарный проигрыш 2-го игрока

u

w

v

1

2

3

1

2

3

4

1

11

6

9

1

10

9

13

11/4

9/4

15/8

5

2

13

9

12

1

13

11

16

13/5

11/5

24/10

6

2

15

12

15

1

16

13

19

15/6

13/6

28/12

7

2

17

15

18

3

18

16

19

15/7

16/7

31/14

8

2

19

18

21

3

20

19

19

21/8

19/8

40/16

9

2

21

21

24

3

22

22

19

24/9

19/9

43/18

10

3

24

25

24

2

23

25

23

25/10

23/10

48/20

11

1

27

26

26

1

26

27

26

27/11

26/11

55/22

12

1

30

27

28

1

29

29

29

30/12

29/12

59/24

13

1

33

28

30

1

32

31

32

33/13

31/13

64/26

14

2

35

31

33

1

35

33

34

35/14

33/14

68/28

15

2

37

34

36

1

38

35

37

37/15

35/15

82/30

16

2

39

37

39

1

41

37

40

39/16

37/16

76/32

17

2

41

40

43

3

43

40

40

43/17

40/17

83/34

18

2

43

43

46

3

45

43

40

46/18

40/18

86/36

19

3

46

47

46

2

46

46

44

47/19

44/19

91/38

20

1

49

48

48

1

49

47

46

49/20

46/20

95/40

Из табл. 7 и 8 видно, что в 20-ти проигранных партиях стратегии 1, 2, 3 для первого игрока встречаются соответственно 12, 3, 5 раз, следовательно, их относительные частоты соответственно равны ; стратегии 1, 2, 3 для второго игрока встречаются соответственно 7, 11,2 раза, следовательно их относительные частоты соответственно равны ; приближенное значение цены игры . Такое приближение достаточно хорошее.

Продолжая этот процесс далее, можно получить приближения цены игры и оптимальных смешанных стратегий обоих игроков сколь угодно близкими к истинным.

В заключение отметим, что, если игра имеет больше одного решения, то приближенные значения цены игры по-прежнему будут неограниченно приближаться к истинной цене игры, а относительные частоты появления стратегий игроков уже не обязательно будут приближаться к истинным оптимальным смешанным стратегиям игроков.

Делись добром ;)