1.5 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
При решении многих задач на делимость деление с остатком используется часто.
Теорема о делении с остатком читается следующим образом.
Для любых натуральных чисел а и b существует, и притом единственная, такая пара целых неотрицательных чисел q и r, где r<b, что a = bq + r. (1)
При этом число а называется делимым, b -- делителем, q -- частным (неполным частным), г -- остатком.
В случае, когда натуральное число a делится на натуральное число b:
a = bq (qN), (2) можно считать, что получилось равенство вида (1), когда г = 0, т. е. равенство (2) -- частный случай равенства (1).
Сформулируем равенство (1) словами: делимое равно произведению делителя на частное, сложенному с остатком.
Пример 1.
Найдите все натуральные числа, при делении которых на 6 в частном получится то же число, что и в остатке.
Обозначим искомое число через а, частное и одновременно остаток через q. Тогда а = 6q + q = 7q.
Казалось бы, ответом являются все натуральные числа, делящиеся на 7. Однако это не так, поскольку остаток q должен удовлетворять неравенству
0 < q < 6. Полагая q = 1, 2, 3, 4 и 5, находим все возможные значения а.
Ответ:
7, 14,21,28,35
Пример 2.
Докажите, что два различных натуральных числа при делении на их
разность дают одинаковые остатки.
Обозначим эти числа через а и b, где а > b. Тогда
a = (a-b)q1+r1
b = (a-b)q2 + r2
Вычтем почленно эти равенства: a-b=(a-b) (q1-q2)+(r1-r2)
Отсюда разность r1- г2 делится на a-b.
Но r1< a-b, r2< a-b, поэтому разность г1- г2 по модулю меньше а-b. Следовательно, она может делиться на а-b только в одном случае, когда г1-г2 = 0, г1=г2.
Задачи
1.При делении натурального числа а на 2 в остатке получается 1, а при делении на 3 -- остаток 2. Какой остаток получится при делении а на 6?
Ответ:
5
2. Натуральное число n при делении на 6 дает остаток 4, а при делении на 15 -- остаток 7. Найдите остаток отделения n на 30.
Ответ:
22
3. Натуральное число а -- четное, не делящееся на 4. Найдите остаток от деления а2 на 32.
Ответ:
4
4. Какой остаток дает 51000 при делении на 11?
Ответ:
1
5. Чему равен остаток от деления числа на 6?
Ответ:
5
6. Найдите остаток от деления: а) 21000 на5; б) З128 на 11; в) 493 на 13.
Ответ:
а) 1 б) 5 в) 12
7.Найдите остаток от деления 2003•2004•2005+20063 на 7.
Ответ:
0
8.Найдите остаток от деления 9100 на 8.
Ответ:
1
9.При делении чисел 1108, 1453, 1844 и 2281на натуральное число а получится один и тот же остаток. Найти все значения а.
Ответ:
23
10.Если числа 826 и 4373 разделить на одно и тоже натуральное число, то получатся соответственно остатки 7 и 8. Найти все значения делителя.
Ответ:
9
11.Частное от деления трехзначного числа на сумму его цифр равно 13, а остаток 15. Найти все такие трехзначные числа.
Ответ:
106, 145, 184
12.Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 1997 дает в остатке 97, а при делении на 1998--остаток 98.
Ответ:
3988106
13.Четырехзначчное число делится на 7 и 29. После умножения на 19 и деления нового числа на 37 получится остаток 3. Найти все такие четырехзначные числа.
Ответ: 5075
14.Двузначное число при делении на цифру единиц дает в частном цифру единиц, а в остатке цифру десятков. Найти все такие двузначные числа.
Ответ:
89
15.Когда трехзначное число, у которого две первые цифры одинаковые, а третья равна 2, разделили на однозначное число, то в остатке получили 8. Найти делимое, делитель и частное. Укажите все решения.
Ответ:
332, 9, 36
- ВВЕДЕНИЕ
- ГЛАВА 1. ШКОЛЬНЫЕ ОЛИМПИАДЫ 8-9 КЛАССОВ
- 1.1 ЧИСЛОВЫЕ РЕБУСЫ
- 1.2 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЦИФР НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
- 1.3 ЧЕТНОЕ И НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО
- 1.4 ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
- 1.5 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
- 1.6 НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
- 1.7 ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
- 1.8 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
- 1.9 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
- 1.10 УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
- 1.12 НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
- ГЛАВА 2: РАЙОННЫЕ ОЛИМПИАДЫ
- 2.1 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. ПРИНЦИП КРАЙНЕГО
- 16625 Руб. За 3 предмета (русский, английский, математика) Возможна оплата помесячно или по семестрам. Для поступления на подготовительные курсы Вам необходимо:
- 22. Эвристика в обучении математике
- Задачи для проведения районной (городской) олимпиады по математике представлены шестью «пакетами»:
- 2.1.2. Бинарный урок по физике и математике в 9 классе.
- 3. Содержание олимпиадных заданий второго этапа:
- 20. Олимпиадные задачи с геометрическим содержанием
- Элективный курс для школьников «теория графов и её применение для решения олимпиадных задач»
- Секция 3а «Прикладная математика»
- Перечень сайтов, полезных учителю математики