1.5 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ

При решении многих задач на делимость деление с остатком используется часто.

Теорема о делении с остатком читается следующим образом.

Для любых натуральных чисел а и b существует, и притом единственная, такая пара целых неотрицательных чисел q и r, где r<b, что a = bq + r. (1)

При этом число а называется делимым, b -- делителем, q -- частным (неполным частным), г -- остатком.

В случае, когда натуральное число a делится на натуральное число b:

a = bq (qN), (2) можно считать, что получилось равенство вида (1), когда г = 0, т. е. равенство (2) -- частный случай равенства (1).

Сформулируем равенство (1) словами: делимое равно произведению делителя на частное, сложенному с остатком.

Пример 1.

Найдите все натуральные числа, при делении которых на 6 в частном получится то же число, что и в остатке.

Обозначим искомое число через а, частное и одновременно остаток через q. Тогда а = 6q + q = 7q.

Казалось бы, ответом являются все натуральные числа, делящиеся на 7. Однако это не так, поскольку остаток q должен удовлетворять неравенству

0 < q < 6. Полагая q = 1, 2, 3, 4 и 5, находим все возможные значения а.

Ответ:

7, 14,21,28,35

Пример 2.

Докажите, что два различных натуральных числа при делении на их

разность дают одинаковые остатки.

Обозначим эти числа через а и b, где а > b. Тогда

a = (a-b)q₁+r₁

b = (a-b)q₂ + r₂

Вычтем почленно эти равенства: a-b=(a-b) (q₁-q₂)+(r₁-r₂)

Отсюда разность r₁- г₂ делится на a-b.

Но r₁< a-b, r₂< a-b, поэтому разность г₁- г₂ по модулю меньше а-b. Следовательно, она может делиться на а-b только в одном случае, когда г₁-г₂ = 0, г₁=г₂.

Задачи

1.При делении натурального числа а на 2 в остатке получается 1, а при делении на 3 -- остаток 2. Какой остаток получится при делении а на 6?

Ответ:

5

2. Натуральное число n при делении на 6 дает остаток 4, а при делении на 15 -- остаток 7. Найдите остаток отделения n на 30.

Ответ:

22

3. Натуральное число а -- четное, не делящееся на 4. Найдите остаток от деления а² на 32.

Ответ:

4

4. Какой остаток дает 5¹⁰⁰⁰ при делении на 11?

Ответ:

1

5. Чему равен остаток от деления числа на 6?

Ответ:

5

6. Найдите остаток от деления: а) 2¹⁰⁰⁰ на5; б) З¹²⁸ на 11; в) 4⁹³ на 13.

Ответ:

а) 1 б) 5 в) 12

7.Найдите остаток от деления 2003•2004•2005+2006³ на 7.

Ответ:

0

8.Найдите остаток от деления 9¹⁰⁰ на 8.

Ответ:

1

9.При делении чисел 1108, 1453, 1844 и 2281на натуральное число а получится один и тот же остаток. Найти все значения а.

Ответ:

23

10.Если числа 826 и 4373 разделить на одно и тоже натуральное число, то получатся соответственно остатки 7 и 8. Найти все значения делителя.

Ответ:

9

11.Частное от деления трехзначного числа на сумму его цифр равно 13, а остаток 15. Найти все такие трехзначные числа.

Ответ:

106, 145, 184

12.Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 1997 дает в остатке 97, а при делении на 1998--остаток 98.

Ответ:

3988106

13.Четырехзначчное число делится на 7 и 29. После умножения на 19 и деления нового числа на 37 получится остаток 3. Найти все такие четырехзначные числа.

Ответ: 5075

14.Двузначное число при делении на цифру единиц дает в частном цифру единиц, а в остатке цифру десятков. Найти все такие двузначные числа.

Ответ:

89

15.Когда трехзначное число, у которого две первые цифры одинаковые, а третья равна 2, разделили на однозначное число, то в остатке получили 8. Найти делимое, делитель и частное. Укажите все решения.

Ответ:

332, 9, 36