1.6 НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ

Вспомним определения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Наибольшим общим делителем двух или нескольких натуральных чисел называется наибольшее из натуральных чисел, на которое делится каждое из данных чисел.

Обозначение наибольшего общего делителя чисел а и b: НОД(а, d).

В частном случае, когда наибольший делитель двух чисел равен 1, эти числа называются взаимно простыми.

Наименьшим общим кратным двух или нескольких натуральных чисел называется наименьшее из натуральных чисел, которое делится на каждое из данных чисел.

Обозначение наименьшего общего кратного двух чисел а и b: НОК(а, b).

Пример 1:

Найдите наибольший общий делитель всех девятизначных чисел, в записи которых каждая из цифр 1, 2, 3,..., 9 встречается по одному разу.

Обозначим этот наибольший общий делитель через d.

Из всех девятизначных чисел указанного вида возьмем только два -- 123456798 и 123456789.

Так как эти числа делятся на d, то и их разность, которая равна 9, делится на d:

9:d. Отсюда d = 1, d = 3 или d = 9.

Какой из этих случаев дает ответ? Для выяснения истины определим с помощью признаков делимости на 3 и на 9, делится ли каждое из девятизначных чисел на 3 или 9. С этой целью найдем сумму цифр любого из них: 1 + 2 + 3+...+ 9 = 45.

Поскольку 45 делится на 9, то каждое из девятизначных чисел делится на 9. Из предыдущего следует, что 9 является их наибольшим делителем.

Ответ:

9

Пример 2:

Найдите наименьшее общее кратное натуральных чисел п и п + 3.

Ответ зависит от того, чему равен наибольший общий делитель чисел n и n + 3.

Он равен 1, если n не делится на 3, и 3, если n делится на 3.

Ответ:

n(n + 3), если п не делится на 3, и (n + 3), если n делится на 3.

Задачи:

1.Найти наибольший общий делитель чисел 111111 и 111111111.

Ответ:

111

2.Найдите все пары натуральных чисел, сумма которых ровна 288, а наибольший общий делитель--36.

Ответ:

252, 36, 180, 108

3. Найти наибольший общий делитель чисел 121212 и 121212121212.

Ответ: 121212

4.Среди первых ста натуральных чисел найти 3 различные числа, наименьшее общее кратное которых наибольшее из всех возможных.

Ответ:

97, 99, 100

5. Три теплохода заходят в порт после каждого рейса. Первый теплоход совершает рейс за 4 дня, второй -- за 6, третий -- за 9. Однажды они встретились в порту все вместе. Через какое наименьшее число дней они снова встретятся в порту все вместе?

Ответ:

Через 36 дней

6. Отец и сын шли по занесенной снегом дороге друг за другом. Длина шага отца -- 80 см, сына -- 60 см. Их шаги совпали 601 раз, в том числе в самом начале и в конце пути. Какое расстояние они прошли?

Ответ:

1 км 440 см

7. Покупатель хотел купить у продавщицы все имеющиеся у нее яйца и спросил, сколько у нее яиц. Та ответила, что не помнит, но знает, что если яйца раскладывать по 2, 3, 4, 5 или 6, то каждый раз в остатке остается одно яйцо. Какое наименьшее число яиц могло быть у продавщицы?

Ответ:

61

8. Найдите все пары натуральных чисел, если их сумма равна 60, а наименьшее общее кратное -- 72.

Ответ:

24 и 36

9. Найдите все пары натуральных чисел, наибольший общий делитель которых равен 24, а наименьшее общее кратное -- 360.

Ответ:

24 и 360, 72 и 120

10. Найдите наименьшую дробь, при делении которой на каждую из дробей -- и

получаются натуральные числа.

Ответ:

11. Два школьника вышли одновременно из пункта А и отправились друг за другом по занесенной снегом тропинке. Шаг одного из них равен 75 см, другого -- 65 см. В первый раз их шаги совпали через 18 сек. после начала движения, а после 10 мин. движения их шаги совпали впервые в пункте В. Найдите расстояние АВ.

Ответ:

331,5 м

12.Найдите наибольший общий делитель чисел 2¹⁹⁹⁵ -1 и 2¹⁹⁹⁸ -1.

Ответ: 7

13.На какое число и при каких натуральных n сократим дробь ? Найдите все решения.

Ответ:

На 2 при всех нечетных n

14. Пусть а и b -- натуральные числа, а > b и числа а + b и а-b взаимно просты. Найдите все значения наибольшего общего делителя чисел а и b.

Ответ:

1

15. Натуральные числа аи b взаимно просты. Найдите все значения наибольшего общего делителя чисел 11а + 2b и 18а + 5b.

Ответ: 1 и 19