1.3 ЧЕТНОЕ И НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО

Обычно четные и нечетные числа связывают только с натуральными числами. Здесь мы распространим их на любые целые числа.

Целое число называется четным, если оно делится на 2, и нечетным, если оно на 2 не делится.

Например, число 6 -- четное, число 0 -- четное, 5 -- нечетное, число --1 -- тоже.

Любое четное число можно представить в виде 2а, а любое нечетное -- в виде 2а + 1 (или 2а - 1), где число а -- целое.

Два целых числа называются числами одинаковой четности, если оба они четные или оба нечетные. Два целых числа называются числами разной четности, если одно из них четное, а другое нечетное.

Рассмотрим свойства четных и нечетных чисел, важные для решения задач.

1. Если хотя бы один множитель произведения двух (или нескольких) чисел четен, то и все произведение четно.

2. Если каждый множитель произведения двух (или нескольких) чисел нечетен, то и все произведение нечетно.

3. Сумма любого количества четных чисел -- число четное.

4. Сумма четного и нечетного чисел -- число нечетное.

5. Сумма любого количества нечетных чисел -- число четное, если число слагаемых четно, и нечетное, если число слагаемых нечетно.

Пример

В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?

Обозначим число жителей на этажах соответственно через a₁,a₂,a₃,а₄,a₅, a число жителей в подъездах соответственно через b₁,b₂,b₃,b₄. Тогда общее число жителей дома можно подсчитать двумя способами -- по этажам и по подъездам: а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + а₅ = b₁ + b₂+ b₃ + b₄.

Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части -- четной. Следовательно, это невозможно.

Ответ: не могут

Задачи

1.Можно ли число 1 представить в виде суммы + + + , где a, b, c, d--натуральные числа?

Ответ:

Нельзя

2.Найдите все целые p и q при которых трехчлен f(x)=x²+px+q принимает при всех целых х: а) четные б) нечетные значения.

Ответ:

а) p нечетно q четно б) p и q нечетно

3. Дано 125 чисел, каждое из которых равно 1 или 3. Можно ли их разбить на

две группы так, чтобы суммы чисел, входящих в каждую группу, были равны?

Ответ:

Нельз

4.Страницы книги пронумерованы подряд, от первой до последней. Гриша вырвал из разных мест книги 15 листов и сложил номера всех 30 вырванных страниц. У него получилось число 800. Когда он сказал об этом Мише, тот заявил, что Гриша при подсчете ошибся. Почему Миша прав?

Ответ:

Сумма номеров всех страниц нечетна

5.По кругу сцепили несколько шестеренок. Смогут ли они одновременно

вращаться, если их: а) 5; б) 6?

Ответ:

а) не смогут б) смогут

6. В шести коробках лежат шарики: в первой -- 1, во второй -- 2, в третьей -- 3, в четвертой -- 4, в пятой -- 5, в шестой -- 6. За один ход разрешается в любые две коробки прибавить по одному шарику. Можно ли за несколько ходов уравнять количество шариков во всех коробках?

Ответ:

Нельзя

7.Числа a и b нечетные. Каким будет число a²+b+1?

Ответ:

Нечетное

8.Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1 м). Докажите, что он сделал четное число прыжков.

Ответ:

Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку, количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков четно.

9.Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз?

Ответ:

Не существует

10.Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы от 1 до 192. Его младший брат вырвал из тетради все листы и разбросал по комнате. Петя подобрал наугад с пола 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2006?

Ответ:

Нет

11.Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры четны?

Ответ:

1996

12. Можно ли разменять 125 рублей при помощи 50 купюр достоинствами 1, 3, и 5 рублей?

Ответ:

Нельзя

13.Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?

Ответ:

Нет

14. Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограмм?

Ответ:

Нельзя

15. Сумма нескольких последовательных четных чисел ровна 100. Найти эти числа.

Ответ:

22+24+26+28=100, 16+18+20+22+24=100