1.3 ЧЕТНОЕ И НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО
Обычно четные и нечетные числа связывают только с натуральными числами. Здесь мы распространим их на любые целые числа.
Целое число называется четным, если оно делится на 2, и нечетным, если оно на 2 не делится.
Например, число 6 -- четное, число 0 -- четное, 5 -- нечетное, число --1 -- тоже.
Любое четное число можно представить в виде 2а, а любое нечетное -- в виде 2а + 1 (или 2а - 1), где число а -- целое.
Два целых числа называются числами одинаковой четности, если оба они четные или оба нечетные. Два целых числа называются числами разной четности, если одно из них четное, а другое нечетное.
Рассмотрим свойства четных и нечетных чисел, важные для решения задач.
1. Если хотя бы один множитель произведения двух (или нескольких) чисел четен, то и все произведение четно.
2. Если каждый множитель произведения двух (или нескольких) чисел нечетен, то и все произведение нечетно.
3. Сумма любого количества четных чисел -- число четное.
4. Сумма четного и нечетного чисел -- число нечетное.
5. Сумма любого количества нечетных чисел -- число четное, если число слагаемых четно, и нечетное, если число слагаемых нечетно.
Пример
В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже и, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?
Обозначим число жителей на этажах соответственно через a1,a2,a3,а4,a5, a число жителей в подъездах соответственно через b1,b2,b3,b4. Тогда общее число жителей дома можно подсчитать двумя способами -- по этажам и по подъездам: а1 + а2 + а3 + а4 + а5 = b1 + b2+ b3 + b4.
Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части -- четной. Следовательно, это невозможно.
Ответ: не могут
Задачи
1.Можно ли число 1 представить в виде суммы + + + , где a, b, c, d--натуральные числа?
Ответ:
Нельзя
2.Найдите все целые p и q при которых трехчлен f(x)=x2+px+q принимает при всех целых х: а) четные б) нечетные значения.
Ответ:
а) p нечетно q четно б) p и q нечетно
3. Дано 125 чисел, каждое из которых равно 1 или 3. Можно ли их разбить на
две группы так, чтобы суммы чисел, входящих в каждую группу, были равны?
Ответ:
Нельз
4.Страницы книги пронумерованы подряд, от первой до последней. Гриша вырвал из разных мест книги 15 листов и сложил номера всех 30 вырванных страниц. У него получилось число 800. Когда он сказал об этом Мише, тот заявил, что Гриша при подсчете ошибся. Почему Миша прав?
Ответ:
Сумма номеров всех страниц нечетна
5.По кругу сцепили несколько шестеренок. Смогут ли они одновременно
вращаться, если их: а) 5; б) 6?
Ответ:
а) не смогут б) смогут
6. В шести коробках лежат шарики: в первой -- 1, во второй -- 2, в третьей -- 3, в четвертой -- 4, в пятой -- 5, в шестой -- 6. За один ход разрешается в любые две коробки прибавить по одному шарику. Можно ли за несколько ходов уравнять количество шариков во всех коробках?
Ответ:
Нельзя
7.Числа a и b нечетные. Каким будет число a2+b+1?
Ответ:
Нечетное
8.Кузнечик прыгал вдоль прямой и вернулся в исходную точку (длина прыжка 1 м). Докажите, что он сделал четное число прыжков.
Ответ:
Поскольку кузнечик вернулся в исходную точку, количество прыжков вправо равно количеству прыжков влево, поэтому общее количество прыжков четно.
9.Существует ли замкнутая 7-звенная ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз?
Ответ:
Не существует
10.Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы от 1 до 192. Его младший брат вырвал из тетради все листы и разбросал по комнате. Петя подобрал наугад с пола 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2006?
Ответ:
Нет
11.Сколько существует четырехзначных чисел, не делящихся на 1000, у которых первая и последняя цифры четны?
Ответ:
1996
12. Можно ли разменять 125 рублей при помощи 50 купюр достоинствами 1, 3, и 5 рублей?
Ответ:
Нельзя
13.Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?
Ответ:
Нет
14. Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограмм?
Ответ:
Нельзя
15. Сумма нескольких последовательных четных чисел ровна 100. Найти эти числа.
Ответ:
22+24+26+28=100, 16+18+20+22+24=100
- ВВЕДЕНИЕ
- ГЛАВА 1. ШКОЛЬНЫЕ ОЛИМПИАДЫ 8-9 КЛАССОВ
- 1.1 ЧИСЛОВЫЕ РЕБУСЫ
- 1.2 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЦИФР НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
- 1.3 ЧЕТНОЕ И НЕЧЕТНОЕ ЧИСЛО
- 1.4 ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ
- 1.5 ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
- 1.6 НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ
- 1.7 ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА
- 1.8 СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
- 1.9 УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
- 1.10 УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
- 1.12 НЕРАВЕНСТВА В ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
- ГЛАВА 2: РАЙОННЫЕ ОЛИМПИАДЫ
- 2.1 ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ. ПРИНЦИП КРАЙНЕГО
- 16625 Руб. За 3 предмета (русский, английский, математика) Возможна оплата помесячно или по семестрам. Для поступления на подготовительные курсы Вам необходимо:
- 22. Эвристика в обучении математике
- Задачи для проведения районной (городской) олимпиады по математике представлены шестью «пакетами»:
- 2.1.2. Бинарный урок по физике и математике в 9 классе.
- 3. Содержание олимпиадных заданий второго этапа:
- 20. Олимпиадные задачи с геометрическим содержанием
- Элективный курс для школьников «теория графов и её применение для решения олимпиадных задач»
- Секция 3а «Прикладная математика»
- Перечень сайтов, полезных учителю математики