3.1 Раскрытие неопределенностей вида 0/0
Дано: f (x), g (x) определены на (x0,b) и
1)
2) f,g дифференцируемы на (x0,b)
3) g (x) 0 на (x0,b).
Тогда
,
если существует конечный или бесконечный предел
.
Доказательство. Доопределим f, g в точке x0 по непрерывности нулем f (x0) =g (x0) =0. По тереме Коши, примененной к отрезку [x0,x], будет существовать (x) (x0,x): x0< (x) < x и , из условия x0< (x) <x следует, что , причем (x) x0, если xx0. По теореме о существовании предела суперпозиции
= ч. т.д.
Замечание. Аналогично это утверждение доказывается для левой окрестности. Откуда получаем утверждение для x x0.
Следствие 1. Если
1) Существуют f (k),g (k), k=1,2,…,n на (x0,b)
2) , k=0,1,…,n-1
3) Существуeт g (n) (x) 0 на (x0,b), то
,
если
существует, конечный или бесконечный.
Следствие 2. Если f, g дифференцируемы для x>a,
, то
,
если последний существует, конечный или бесконечный.
Доказательство. Сделаем замену
Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x - .
- Введение
- 1. Бесконечно малые и их сравнения; символы "o малое" и "о большое"
- 2. Основные теоремы дифференциального исчисления
- 2.1 Теорема Ферма о нуле производной
- 2.2 Теорема Ролля о нуле производной
- 2.3 Теорема Лагранжа о конечных приращениях
- 2.4 Теорема Коши о конечных приращениях
- 3. Раскрытие неопределенностей. правило лопиталя
- 3.1 Раскрытие неопределенностей вида 0/0
- 3.2 Раскрытие неопределенностей вида /
- 3.3 Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
- 3.4 Раскрытие неопределенностей вида 0, 1, 00,0, -
- 4. Формула тейлора. вычисление пределов с помощью формулы тейлора
- 4.1 Многочлен Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом Rn.
- 4.2 Остаток в форме Пеано
- 4.3 Другие формы остатка в формуле Тейлора
- 4.4 Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора
- 4.5 Примеры использования стандартных разложений для представления функций по формуле Тейлора и для вычисления пределов
- 4.6 Формула Тейлора для четных и нечетных функций
- Заключение
- Применение производной для нахождения пределов
- 3. Предел и производная функции одной переменной
- 2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
- §2. Применение производной к нахождению пределов функций. Правило Лопиталя.
- 5.5. Схема нахождения производной
- Применение производных для вычисления пределов функций (правило Лопиталя)
- 2.3.7. Раскрытие неопределенностей при нахождении пределов. Правило Лопиталя
- 8. Применение производной при вычислении пределов
- Применение производной при вычислении пределов
- Правило Лопиталя и его применение к нахождению предела функции.