§1 Основные понятия и определения
Целая и дробная части числа
Определение 1. Целой частью числа x называется наибольшее целое число r, не превышающее x.
Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier "антье" -- целый).
Если x принадлежит промежутку
[r; r +1),
где r -- целое число, то [x]=r, т.е. x находится на промежутке [ [x]; [x]+1). По свойствам числовых неравенств, разность x-[x] будет на промежутке [0; 1).
Определение 2. Число q = x - [x] называют дробной частью числа x и обозначают {x}. Следовательно, дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, тогда как целая часть числа может принимать как положительные значения, так и неположительные. Таким образом {x} = x - [x], а, следовательно, x = [x] + {x}.
Примеры
[5]=5 |
[7,2]=7 |
[-3]=-3 |
[-4,2]=-5 |
[0]=0 |
|
{5}=0 |
{7,2}=0,2 |
{-3}=0 |
{-4,2}=0,8 |
{0}= |
Свойство целой части
[x+n] = [x]+n
где n - натуральное число
Рациональные и иррациональные числа и их свойства
Определение 3.Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде дроби
где m - целое число, а n - натуральное.
Определение 4. Если число не представимо в виде , то такое число называется иррациональным.
Теорема 1. Любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической дроби.
Любое иррациональное число представимо в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.
Примеры
0,5=-рациональное число
0,(3)= - рациональное число
1,0123456789101112…-иррациональное число
- иррациональное число
Свойства арифметических действий над рациональными и иррациональными числами
1. Если - рациональные числа, то , , , , - рациональные числа.
Дано: Доказательство
; - рациональное
2. Если r-рациональное число, -иррациональное число, то
- иррациональные числа.
Доказательство: (от противного)
Предположим что
но - противоречие
3. Если ,то про ничего определенного нельзя сказать.
Примеры
- 5. Разбиение множества на классы
- §4. Разбиение.
- 34. Графическое разбиение.
- Разбиение множества на классы
- 17. Упорядоченные и неупорядоченные разбиения чисел. Рекуррентные соотношения для количества неупорядоченных разбиений натурального числа на фиксированное число слагаемых.
- 3.2. Разбиения чисел
- Разбиение множества