§1 Основные понятия и определения

Целая и дробная части числа

Определение 1. Целой частью числа x называется наибольшее целое число r, не превышающее x.

Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier "антье" -- целый).

Если x принадлежит промежутку

[r; r +1),

где r -- целое число, то [x]=r, т.е. x находится на промежутке [ [x]; [x]+1). По свойствам числовых неравенств, разность x-[x] будет на промежутке [0; 1).

Определение 2. Число q = x - [x] называют дробной частью числа x и обозначают {x}. Следовательно, дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, тогда как целая часть числа может принимать как положительные значения, так и неположительные. Таким образом {x} = x - [x], а, следовательно, x = [x] + {x}.

Примеры

Свойство целой части

[x+n] = [x]+n

где n - натуральное число

Рациональные и иррациональные числа и их свойства

Определение 3.Рациональным числом называется число, которое можно представить в виде дроби

где m - целое число, а n - натуральное.

Определение 4. Если число не представимо в виде , то такое число называется иррациональным.

Теорема 1. Любое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической дроби.

Любое иррациональное число представимо в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Примеры

0,5=-рациональное число

0,(3)= - рациональное число

1,0123456789101112…-иррациональное число

- иррациональное число

Свойства арифметических действий над рациональными и иррациональными числами

1. Если - рациональные числа, то , , , , - рациональные числа.

Дано: Доказательство

; - рациональное

2. Если r-рациональное число, -иррациональное число, то

- иррациональные числа.

Доказательство: (от противного)

Предположим что

но - противоречие

3. Если ,то про ничего определенного нельзя сказать.

Примеры