5. Разбиение множества на классы
Можно говорить о разбиении данного множества на попарно непересекающиеся подмножества или классы тогда, когда одновременно выполняются следующие условия:
Все подмножества, образующие разбиение, не пусты.
Любые два таких подмножества не пересекаются.
Объединение всех подмножеств есть данное множество. Условие 1 иногда опускают.
Символическая запись этого определения следующая.
Пусть дано множество А и совокупность его подмножеств: А1, А2, ..., Ап (где Аi А, i = 1, 2,..., n).
Совокупность подмножеств А1, А2, ..., Ап называется разбиением множества А на классы, а сами подмножества – классами, если выполняются условия:
Аi , i = 1, 2,…, n.
AiAj = , i, j = 1, 2, …,n; i j.
A1A2…An = A
Рассмотрим задачи, связанные с оценкой правильности разбиения множества на классы и с самостоятельным разбиением множества на классы при использовании двух свойств.
Задача 7
Учащийся из множества четырехугольников выделил подмножества трапеций, параллелограммов и прямоугольников. Произошло ли разбиение множества на классы?
Решение.
Пусть А – множество четырехугольников. А1 – множество трапеций А2 – множество параллелограммов, А3 – множество прямоугольников.
Разбиение множества А на классы произойдет, если будут выполнены условия (1, 2, 3).
Проверим выполнимость условий: Аi А, где i = 1, 2, 3.
1. Аi , где i = 1, 2, 3, т.к. каждое множество содержит хотя бы по oдной фигуре.
2. А1 А2 = ; А1 А3 = ; А2 А3, т.к. А3 А2 и А2 А3=А3.
Второе условие не выполняется, значит разбиения множества на классы не произошло.
Задача 8
На какие классы разбивается множество натуральных чисел, если использовать такие свойства: «делится на 2» и «быть однозначным»?
Решение.
Обозначим через А множество четных натуральных чисел, В – множество однозначных чисел, N – множество натуральных чисел. Заметим, то А В , т.к. некоторые четные числа являются однозначными, а некоторые однозначные числа – четными. Далее с помощью кругов Эйлера изобразим множества А, В, N и выделим классы разбиения. Из рисунка видим, что их 4. Охарактеризуем каждый из них.
I – множество четных однозначных натуральных чисел.
II – множество четных неоднозначных натуральных чисел.
III – множество нечетных однозначных натуральных чисел.
IV – множество нечетных неоднозначных натуральных чисел.
Упражнения
93. Из множества Р = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} выделили подмножества А, В и С. Выясните, в каком случае произошло разбиение множества Р на классы:
а) А = {1, 3, 5}, В = {2, 4, 6, 8}, С = {7, 9};
б) А = {5}, В = {3, 4, 8, 9}, С = {1, 6};
в) А = {1, 3, 5), В = {2, 4, 6, 8}, С = {5, 7, 9};
г) А = {1, 3}, В = {4, 6, 8}, С = {5, 6, 9}.
94. Множество А состоит из 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; множество В – его подмножество, состоящее из чисел, которые делятся на 3; множество С – подмножество, состоящее из чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 1; множество D – подмножество, состоящее из чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2. Можно ли утверждать, что множество А разбивается в этом случае на попарно непересекающиеся подмножества В, С и D? Произошло ли разбиение множества на классы, если да, то сколько классов?
95. На координатной прямой выделены два множества: (–;2)и (2; +). Можно ли утверждать, что множество действительных чисел разбито на два класса? Можно ли разбить множество точек координатной прямой на 3 класса? на 4 класса? Ответ проиллюстрируйте на примере.
96. Выясните, в каких случаях классификация выполнена верно:
а) треугольники делятся на прямоугольные, тупоугольные и равнобедренные;
б) углы классифицируются на острые, прямые и развернутые;
в) целые числа можно разбить на натуральные числа, число 0 и отрицательные целые числа;
г) глаголы русского языка делятся на глаголы настоящего, прошедшего и будущего времени;
д) члены предложения бывают главные и второстепенные.
97. Из множества Т треугольников выделили два подмножества: X – подмножество прямоугольных треугольников и Y – подмножество равнобедренных треугольников. Постройте для данных множеств круги Эйлера; установите, на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество Т, и все множества, изображенные этими областями, задайте описанием характеристического свойства. При помощи скольких свойств произведено разбиение множества треугольников на классы?
98. Разбейте множество четырехугольников на классы: а) по какому-либо одному свойству; б) по двум свойствам. Укажите эти свойства, для каждого случая постройте круги Эйлера, установите число непересекающихся областей и выясните, какие множества изображаются этими областями.
99. Множества Р ромбов, Т треугольников и К многоугольников, имеющих угол 30°, являются подмножествами множества М многоугольников. Постройте круги Эйлера для данных множеств, установите, на сколько непересекающихся областей разбился круг, изображающий множество М, и для всех множеств, изображенных этими областями, укажите характеристическое свойство.
100. Из множества треугольников выделены подмножества прямоугольных, равнобедренных и тупоугольных треугольников. Произошло ли разбиение множества на классы?
101. Произведите разбиение на классы множества целых чисел, используя свойства «быть кратным 4» и «быть кратным 5».
102. Укажите классы разбиения множества треугольников, которые получаются при рассмотрении таких свойств, как «иметь хотя две равные стороны» и «иметь прямой угол».
103. Из множества четырехугольников выделили следующие подмножества: а) прямоугольников, не являющихся ромбами; б) ромбов не являющихся прямоугольниками; в) квадратов; г) четырехугольников, не являющихся ни ромбами, ни прямоугольника. Произошло ли разбиение множества на классы?
104. Истинно ли высказывание: «Параллелограммы делятся на прямоугольники, ромбы и квадраты»? Почему?
105. На множестве геометрических фигур плоскости выделены множества фигур, имеющих: а) центр симметрии; б) ось симметрии; в) не имеющих ни центра, ни оси симметрии. Можно ли считать, что произошло разбиение множества на классы?
106. Произведите разбиение множества целых чисел на классы используя такие свойства: «быть однозначным числом» и «быть двузначным числом».
107. Укажите, какие классы разбиения получаются при рассмотрении на множестве треугольников таких свойств: «иметь тупой угол» и «все углы острые».
108. Произошло ли разбиение множества натуральных чисел на классы, если из него выделены подмножества чисел, делящихся на три чисел, которые при делении на 3 дают остаток 1?
109. Установите, правильны ли следующие классификации:
а) натуральные числа делятся на однозначные, двузначные и трехзначные;
б) параллелограммы могут быть прямоугольниками, квадратами и ромбами;
в) треугольники бывают равносторонними и неравносторонними;
г) четырехугольники делятся на параллелограммы и трапеции.
110. Из множества N выделили два подмножества: А – подмножество натуральных чисел, кратных 3, и В – подмножество натуральных чисел, кратных 4. Постройте круги Эйлера для множеств N, А и В; установите, на сколько попарно непересекающихся множеств произошло разбиение множества N; укажите характеристические свойства этих множеств.
111. Из множества параллелограммов выделили подмножество прямоугольников и подмножество квадратов. Постройте круги Эйлера для данных множеств. Можно ли утверждать в данном случае, что множество параллелограммов разбито на 3 попарно непересекающихся подмножества: квадраты; прямоугольники, не являющиеся квадратами; параллелограммы, не являющиеся прямоугольниками?
- Предисловие
- I. Множества и операции над ними
- Понятие множества
- Способы задания множеств. Отношения между множествами
- 3. Объединение и пересечение множеств, их свойства
- 4. Разность множеств. Дополнение к подмножеству
- Задача 3.
- Задача 6
- Контрольные вопросы
- Упражнения
- 5. Разбиение множества на классы
- 6. Декартово умножение множеств
- II. Элементы математической логики
- 2. Высказывания с кванторами
- Отрицание высказываний, содержащих кванторы
- 3. Отношение логического следования и равносильности
- Строение теоремы. Виды теорем
- 6. Математические понятия
- Отношения между понятиями
- Умозаключения
- III. Соответствия и отношения
- Соответствия между элементами двух множеств.
- 2. Функции
- 3. Бинарные отношения
- Алгебраические операции
- IV. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- Об аксиоматическом построении теории
- Сложение и умножение. Отношение «меньше» «больше»
- Свойства операции сложения
- Свойства операции умножения
- Вычитание и деление
- Правило вычитания числа из суммы
- Правило вычитания суммы из суммы
- Деление суммы на число
- Деление разности на число
- Деление произведения на число
- 4. Множество целых неотрицательных чисел. Деление с остатком
- 5. Свойства множеств натуральных и целых неотрицательных чисел
- V. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и операций над числами
- 1. Порядковые и количественные натуральные числа.
- 2. Сложение и вычитание целых неотрицательных чисел.
- Свойства операции сложения
- 3. Умножение целых неотрицательный чисел
- Свойства операции умножения
- 4. Деление