§4. Геометрическая интерпретация

Удивительно простое и наглядное доказательство теоремы из § 1 получаем, если рассмотрим геометрическую интерпретацию.

Пусть, как и ранее, ? и ? - положительные иррациональные числа.

Причем . Тогда , откуда .

Нарисуем на листе бумаги, как на координатной плоскости прямую l, заданную уравнением у=(?-1)x, которое можно записать так же в виде x=(?-1)y.

Занумеруем подряд все клетки, которые пересекают l, начиная с нулевой клетки, которой принадлежит начало координат (для … взято

?=)

Если мы обозначим числа, стоящие над линией за a- числа, а под линией за b - числа то получатся две последовательности, о которых мы говорили в §1.

Поскольку число ? иррационально, прямая l не проходит через узлы сетки. Значит, l входит в очередную клетку либо слева, пересекая вертикальную линию сетки, либо снизу, пересекая горизонтальную линию.

Если l вошла в клетку слева и пересекла при этом вертикаль х=n, то номер клетки, в которую при этом вошла прямая равен n+[( ?-1)n]=[ ?n].

Если же прямая l пересекла снизу горизонталь y=m, то номер соответствующей клетки равен [(?-1)m]+m=[?m].