Разбиение натурального ряда
§2 Две последовательности. Их свойства
В этом параграфе речь пойдет о задачах, посвященных разбиению натурального ряда на последовательности и о теореме, доказывающей их.
Рассмотрим один из способов разбиения натурального ряда на две возрастающие непересекающиеся последовательности
и
которые при любом натуральном n удовлетворяют условию .
Двигаясь по натуральному ряду, можем последовательно вычислять члены обеих последовательностей.
Поскольку все , то наименьшее натуральное число, т.е. 1- должно равняться .
Следовательно
и так далее. Каждый раз, выбирая наименьшее неиспользованное натуральное число и считая его равным , затем, находя по формуле
можем строить последовательности.
В 1877 году в «Теории звука» лорд Рэлей писал: «если x есть некоторое положительное иррациональное число, меньшее единицы, то можно взять два ряда величин n/x и n/(x-1) где n = 1,2,3…; каждое число, принадлежащее к тому или иному ряду, и только оно одно, будет заключено между двумя последовательными натуральными числами”. Т.е.
и
заполняют без пропусков и перекрытий весь натуральный ряд, если
0<x<1 и xQ
Гипотеза Акулича и явные формулы
И.Ф. Акулич предложил гипотезу: отношение количества a-чисел к количеству b-чисел стремится к «золотому сечению»
(где a-числа - числа, принадлежащие последовательности , b-числа- числа, принадлежащие последовательности ).
[(1+)n/2]
=[(1+)n/2]+n=[(3+)n/2]
Выведем из явных формул гипотезу Акулича.
Обозначим
;
Рассмотрим натуральное число N и выясним сколько a-чисел и b-чисел среди первых N натуральных чисел, если последовательности заданы формулами:
;
Неравенства равносильно, по определению целой части, неравенству <N+1, т.е. неравенству n<(N+1)/. Значит, a-чисел среди первых N натуральных чисел имеется ровно [(N+1)/]. Аналогично, b-чисел
[(N+1)/]
Тогда отношение количества a - чисел к количеству b- чисел равно
Устремим N к бесконечности, получим
Гипотеза оказалась верна, при условии что обе последовательности и заданы явными формулами
[(1+)n/2]
=[(3+)n/2]
Но Акулич не первый догадался представить последовательности и в виде [] и [].
Эти же явные формулы получаются из формул Рэлея при x = 2/(1+), поскольку при этом величина 1-x равна как раз 2/(3+), т.е.
Возникает вопрос об единственности разбиения множества N на две последовательности.
В статье Баабабова [2] доказывается теорема, обобщающая этот результат и утверждает, что таких разбиений натурального ряда существует бесконечно много. Приведем данную теорему и ее подробное доказательство.
Обозначим
Теорема.
Если и - положительные иррациональные числа, связанные соотношением , то среди чисел вида [] и [] , где n , каждое натуральное число встречается ровно один раз.
Доказательство:
Поскольку > 1, в последовательности никакое число не повторяется. Аналогично вследствие неравенства >1 строго возрастает и последовательность
Действительно, пусть [] - k
Следовательно,
Докажем теперь, что каждое натуральное число встречается ровно один раз.
Предположим, что некоторое натуральное число k вошло в обе последовательности т е k = , где m,n - натуральные числа. Тогда должны быть выполнены неравенства
k<< k + 1, k<<k + 1,
т.е.
сложим эти неравенства, не забывая про условие
Получим
откуда k<m+n<k+1
Но такого для натуральных чисел не может быть. Значит, число k не могло войти в обе последовательности.
Теперь предположим, что k не вошло ни в одну из последовательностей. Тогда для некоторых натуральных чисел m и n должны выполняться неравенства
m < k <k+1< (m+1)
n < k <k+1< (n+1)
которые можно преобразовать к виду
складывая, получаем
откуда m+n<k и k+1<m+n+2 m+n<k и m+n>k-1
Такого для натуральных чисел тоже не может быть. Получаем противоречие, следовательно, теорема доказана.
В следующем параграфе рассмотрены упражнения о разбиениях натурального ряда, при решении которых используются результаты данного параграфа.