Слабые асимптотики произведения функций Хевисайда

Пусть - некоторая функция, принадлежащая пространству Шварца . Рассмотрим функцию. Учитывая, что

легко получить её слабую асимптотику:

Пусть теперь - две различные функции из пространства Шварца.Аналогичным образом можно получить слабую асимптотику их произведения в симметрической форме:

Проведя аналогичную процедуру для пары функций из , производные которых принадлежат пространству Шварца и пределы которых на равны нулю, а на - единице, получим

Вычислив первообразную обеих частей равенства, получим

В предположении, что , можно утверждать, что функции являются аппроксимациями (слабыми асимптотиками) функций Хевисайда. Таким образом, предыдущее равенство можно переписать в виде

Наконец, предположив, что и сделав соответствующие замены в аргументах, получим основную асимптотическую формулу:

где - уже исследованная нами функция переключения; легко видеть также, что , при при . Данная формула будет в дальнейшем использоваться при асимптотическом приближении произведений функций Хевисайда.