22) Задача Коши и теорема Коши.

Теорема Коши.

Если функция f(x,y) и ее частная производная f’y(x,y) определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Oxy, то какова бы ни была внутренняя точка (х0,y0) области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения y’= f(x,y), удовлетворяющее условиям:

y=y0 при x=x0

Теорема Коши дает возможность по виду дифференциального уравнения решать вопрос о существовании и единственности его решения. Это особенно важно в тех случаях, когда заранее неизвестно, имеет ли оно решение. Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку (х0,y0) области G проходит единственная интегральная кривая.

Условия y=y0 при x=x0, в силу которых функция y=ϕ(x) принимает заданное значение y0 в заданной точке х0, называют начальными условиями решения:

y| = y0

|x=x0

Отыскание решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям-одна из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши. С геометрической точки зрения решить задачу Коши – значит из множества интегральных кривых, выделить ту, которая проходит через заданную точку (х0,y0) плоскости Oxy.

Иногда начальные условия называют условиями Коши, а частным решением называют решение какой-нибудь задачи Коши.

Пример.

Рассмотрим уравнение y’=3 .

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Оно удовлетворяет всем условиям теоремы Коши, так как функции f(x,y)= 3 и f’(x,y)=0 определены и непрерывны на всей плоскости Oxy. Легко проверить, что функция y= +C , где С-произвольная постоянная, является общим решением данного уравнения во всей плоскости Oxy.

При различных значения С получаем различные решения данного уравнения y= +C, для отыскания частного решения (решения какой-нибудь задачи Коши) зададим произвольные начальные условия y=y0, x=x0. Подставим эти значения в общее решение вместо x и y, получим y0= +C, откуда С= y0- . Таким образом, найдено частное решение y= + y0-