Оценки функции переключения

Пусть - функция, принадлежащая пространству Шварца и удовлетворяющая следующим условиям:

1)

2)

где - некоторые положительные константы.

Здесь и далее под эквивалентностью двух функций на бесконечности понимается наличие предела их частного, не равного нулю.

В условиях достаточной гладкости можно показать, что для производной при этом справедливы аналогичные приближения:

В дальнейших рассуждениях точные значения констант в асимптотиках нас будут интересовать мало, поэтому индексы далее опускаются.

Рассмотрим следующий интеграл от функции и её производной, зависящий от параметра:

Будем называть эту функцию функцией переключения. Изучим поведение функции переключения на бесконечности. Для этого рассмотрим отдельно два варианта:

Проведём замену в подынтегральном

выражении,после чего опятьобозначимчерез. Получим:

Так как , то во втором интеграле (где ) имеем , а значит, в силу свойств,

где и - некоторые положительные константы. Таким образом,

где - некоторая константа.

Вернёмся к первому интегралу и проведём обратную замену .Получим:

Область полученного интеграла целесообразно разбить на две подобласти:

В подобласти интеграла выполняется неравенство , а значит при и верна асимптотика . Таким образом интеграл удовлетворяет следующим приближенным равенствам:

Поскольку - некоторое число, а при переменная интегрирования пробегает значения от 0 до бесконечности, то окончательно интеграл имеет приближенно следующий вид:

В области интеграла переменная интегрирования стремится к бесконечности как на верхнем, так и на нижнем пределе, потому применима оценка , а интеграл может быть оценен как

Воспользовавшись формулой Лейбница для дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, и правилом Лопиталя, легко показать, что

Неинтегральные слагаемые после деления на могут быть приближеныконстантами на бесконечности.Интеграл в силу свойств может принимать следующие значения (и только их) на бесконечностив зависимости от поведения :

,

,

.

Из этого следует, что в любом случае искомый предел не превосходит многочлена первой степени от, а значит и весь интеграл на бесконечности можно оценить как

В этом случае выполнено:

Во втором интеграле аналогичным первому случаю образом имеем

откуда следует асимптотика для второго интеграла:

Первый интеграл, после уже известных замен, разделяется на ещё два вспомогательных:

В области интеграла (**), а , поэтому

Область интеграла (*) целесообразно разбить надве подобласти:

В этой подобласти с помощью уже продемонстрированных приближений получим:

Интеграл можно приблизить, воспользовавшись свойством :, а значит

Поскольку , то экспоненциальная оценка довлеет над линейной, и можно окончательно записать так:

Здесь применима оценка , т.к. , а значит искомый интеграл оценивается следующим образом:

Разность очевидным образом можно оценить как , а оставшийся интеграл (т.к. )- как .