Решения задачи Коши для двух фронтов методом прямого интегрирования

Рассмотрим задачу Коши для уравнения Хопфа:

где - положительные константы, . Задача - найти слабую асимптотику решения задачи Коши, представив её в нижеуказанном виде и решив полученную после подстановки систему уравнений:

Вычислив слабую асимптотику согласно формуле асимптотики произведения функций Хевисайда и подставив все полученные аппроксимации в уравнение Хопфа, получим следующую систему уравнений для:

Поскольку до взаимодействия фронты ударных волн движутся независимо, то следует ввести вспомогательный параметр - момент времени столкновения (взаимодействия) двух фронтов:

Проведя прямое интегрирование:

и воспользовавшись асимптотическими приближениями из предыдущего раздела, сравним вид с решением той же задачи, полученным с помощью формул (3.6 - 3.13) из [2].

Для начала отметим, что в формуле (3.13) допущена ошибка, и правильное выражение для имеет следующий вид:

где -приведённое расстояние между фронтами непровзаимодействовавших волн ( соответствует ). Далее распишем в явном виде решение, полученное по формулам пункта (3):

Рассмотрим пределы на бесконечности, получаемые при неограниченном уменьшении малого параметра :

а).. В этом случае , таккак, очевидно, , а по свойствам функции переключения Из стационарного уравнения (3.11) на:

можно заключить, что , а значит

б).После взаимодействия , а , поэтому

и окончательно

Теперь проведём процедуру прямого интегрирования исходного уравнения для , начиная с момента взаимодействия:

Так как , то , а на этой полупрямой и можно приблизить следующим образом:

В связи с этим справедлива следующая цепочка равенств:

Полностью аналогичным образом можно получить и выражение для .