Решение задачи Коши для трёх фронтов методом прямого интегрирования

Рассмотрим аналогичную задачу Коши для уравнения Хопфа:

где - положительные константы, . Вид слабой асимптотики:

Воспользовавшись асимптотическими формулами для произведения функций Хевисайда, выпишем приближенное выражение для

После подстановки полученного выражения в уравнение Хопфа и вычисления соответствующих производных, приравняв к нулю соответствующие множители при дельта-функциях, получим систему уравнений для :

Аналогично предыдущей задаче, введём вспомогательные параметры и - моменты столкновения (взаимодействия) первого фронта со вторым и второго с третьим соответственно:

Предположим,что. Проведём прямое интегрирование системы на каждом из временных интервалов, задаваемых и

а). На этом интервале при поэтому и,с учётом того, что , формулы для и принимают следующий вид:

На всех интервалах вида , где - достаточно малая положительная константа, не зависящая от , при , а значитпо свойствам функции переключения

Таким образом можно выписать явный вид , совпадающий с видом из задачи для двух фронтов:

б). После столкновения первый и второй фронты сливаются воедино и затем движутся вместе как единый фронт: . В связи с этим система принимает вид

Вычтя почленно первое уравнение из второго, можно получить стационарное уравнение для , подобное стационарному уравнению дляиз задачи для двух фронтов:

Проведя подходящую замену переменных, т.е. перейдя к правильным образом приведённому расстоянию между фронтами и , можно получить вид стационарного уравнения для , идентичный оному для:

Подходящим приведённым расстоянием будет являться следующее:

Решение системы выглядит следующим образом:

На любом интервале вида , где - достаточно малая положительная константа, не зависящая от , при , а значит, согласно свойствам функции переключения,

Аналогично случаю а), можно вычислить значение из условия столкновения фронтов и :

При , где - достаточно малая положительная константа, не зависящая от , при , а значит все три фронта сливаются в единый фронт и, аналогично задаче с двумя фронтами,

Замечание 1.В начале рассуждений было предположено, что Фактически это означает, что первый и второй фронты сталкиваются раньше, чем второй с третьим. На самом деле это далеко не всегда так, и более корректным было бы обозначить , где - времена попарных столкновений всех фронтов до первого взаимодействия, пробегают все возможные пары соседних фронтов. Используемое в указанных выше рассуждениях , таким образом, на самом деле является -наименьшим среди времён попарных столкновений фронтов послепервого взаимодействия, и вообще говоря не обязано совпадать с гипотетическим временем независимого столкновения второго и третьего фронтов. Однако, использовавшееся в вычислениях неявное предположение делает рассматриваемый пример более наглядным, хоть и не отображает всей полноты возможностей; все указанные формулы, в том числе и для , остаются верными при выполнении этого предположения.

В дальнейших примерах следует помнить, что все промежуточные времена столкновений на самом деле являются - наименьшими временами попарных столкновений фронтов до -го (но после -го) взаимодействия.

Кроме того, ни здесь, ни далее не рассматривается такая вполне реальная ситуация, как столкновение трёх и более фронтов одновременно. Рассмотрение этого случая, без сомнения, интересно, но всё же выходит за рамки данной работы.