Решение задачи Коши для четырёх фронтов методом прямого интегрирования

Рассмотрим ещё одну задачу Коши для уравнения Хопфа:

где - положительные константы, . Вид слабой асимптотики:

Воспользовавшись асимптотическими формулами для произведения функций Хевисайда, выпишем приближенное выражение для

После подстановки полученного выражения в уравнение Хопфа и вычисления соответствующих производных, приравняв к нулю соответствующие множители при дельта-функциях, получим систему уравнений для:

Аналогично предыдущей задаче, введём вспомогательные параметры ,и- моменты столкновения (взаимодействия) первого фронта со вторым, второго с третьим и третьего с четвёртым соответственно:

Предположим, что. Проведём прямое интегрирование системы на каждом из временных интервалов, задаваемых , и .

а). На этом интервале при поэтому и, с учётом того, что , формулы для и принимают следующий вид:

На всех интервалах вида , где - достаточно малая положительная константа, не зависящая от , при , а значитпо свойствам функции переключения

Таким образом можно выписать явный вид из условия столкновения двух фронтов:

б). После столкновения первый и второй фронты сливаются воедино и затем движутся вместе как единый фронт: . В связи с этим система принимает следующий вид:

Вычтя почленно первое уравнение из второго, можно получить стационарное уравнение для , подобное стационарному уравнению дляиз задачи для двух фронтов:

Проведя подходящую замену переменных, т.е. перейдя к правильным образом приведённому расстоянию между фронтами и , можно получить вид стационарного уравнения для , идентичный оному для:

Подходящим приведённым расстоянием будет являться следующее:

Решение системы выглядит следующим образом:

На любом интервале вида , где - достаточно малые положительные константы, не зависящие от , при , а значит, согласно свойствам функции переключения,

Аналогично случаю а), можно вычислить значение из условия столкновения фронтов и :

в). . После второго столкновения уже фронты и сливаются воедино и затем движутся вместе как единый фронт: . В связи с этим система принимает следующий вид:

Решение системы:

На любом интервале вида , где - достаточно малые положительные константы, не зависящие от , при , а значит, по свойствам функции переключения,

Значение из условия столкновения фронтов и :

При , где - достаточно малая положительная константа, не зависящая от , при , а значит все три фронта сливаются в единый фронт и, аналогично задаче с двумя фронтами,

Замечание 2.Как было отмечено в замечании к предыдущему разделу, корректным было бы в качестве брать , где - времена попарных столкновений фронтов до -го (но после -го) взаимодействия,пробегают все пары соседних фронтов,. При этом если, например, первое столкновение случается на паре фронтов, отличающейся от , то в формулах номера 1 и 2 меняются на соответствующие; общий смысл выкладок в любом случае остаётся таким же.

Рассмотрим простую иллюстрацию. Пусть в условиях задачи Коши дополнительно выполнено:. Тогда вид системы упрощается:

Легко видеть, что в этом случае , поэтому выбор зависит от особенностей начального условия . Неявно предполагалось, что гладкая верхняя огибающая этой функции является всюду выпуклой, поэтому с ростом растёт и , а значит .

Анализ задач Коши для двух и трёх фронтов позволяет перейти к решению задачи Коши для произвольного числа фронтов .