Решение задачи Коши со ступенчатой функцией в качестве начального условия

Хорошо известно, что любая измеримая ограниченная функция может быть приближена сходящейся почти всюду последовательностью ступенчатых функций. Поэтому рассмотрение задачи этого раздела позволяет исследовать решение задачи Коши с произвольным начальным условием, являющимся измеримой и ограниченной функцией.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения Хопфа для произвольного числа фронтов:

где - положительные константы,. Для упрощения выкладок дополнительно предположим, что

Вид слабой асимптотики:

Воспользовавшись асимптотическими формулами для произведения функций Хевисайда, выпишем приближенное выражение для

После подстановки полученного выражения в уравнение Хопфа и вычисления соответствующих производных, приравняв к нулю соответствующие множители при дельта-функциях, получим систему уравнений для:

Перепишем полученную систему в терминах . Для любой пары справедливо

поэтому общий вид системы в терминах следующий:

Дальнейшие действия представляют собой индуктивный процесс, обобщающий метод, использованный в предыдущих задачах, на случай произвольного числа фронтов . Пусть - моменты первого столкновения фронтов после уже случившихся столкновений, , и пусть (см. замечания к предыдущим разделам). Временная ось разбивается с помощью напромежутков, в каждом из которых фактически решается задача для двух фронтов.

(). На этом интервале,в пределедля для , поэтому система вырождается в следующую:

где - фронт, возникший после слияния первых фронтов ().

Результат прямого интегрирования системы на каждом из таких интервалов:

По свойствам функции переключения, на любом строго вложенном в интервале интегральные части равны , откуда и следуют окончательные выражения для и :

Значения можно получить из рекуррентного соотношения, получаемого из условия равенства соответствующих и в этот момент:

На оставшейся полупрямой , при условии сколь угодно малого, но конечного отдаления от границы , все изначальных фронтов сливаются воедино, после чего, аналогично случаю двух фронтов,

Замечание 3.В замечании 2 к предыдущему разделу было показано, что в случае четырёх фронтов времена первых попарных столкновений задаются формулой где Очевидным образом эта формула обобщается и на случай фронтов. Покажем подробнее, почему выпуклость гладкой верхней огибающейфункции (назовём её ) позволяет говорить о равенстве .

Далее в рассуждениях будет фигурировать производная по. Поскольку - не непрерывная, а целочисленная переменная, то на самом деле подразумевается три действия: замена на непрерывный параметр , взятие производной по и возврат к старому обозначению .Соотношения при этом остаются такими же, как если бы было непрерывным параметром.

Обозначим как функцию . Так как в точках функция совпадает со своей огибающей, то справедливо равенство

Вычислим производную по как производную сложной функции:

Отсюда следует, что поскольку убывает с ростом согласно начальному условию, а значит и её огибающая тоже убывает с ростом . Таким образом, убывает с ростом .

В свою очередь,

а значит

В итоге, если - всюду выпуклая функция, т.е. если , то, т.к. , положительна, а значит растёт с ростом и минимум достигается на начальном значении .

Если же, к примеру, - всюду вогнутая функция, то , наоборот, убывает с ростом , и процесс решения задачи Коши следует проводить, обратив порядок фронтов. Вариант наличия точек перегиба функции более сложен и заслуживает отдельного рассмотрения.