Теорема о структуре глобального решения

Справедлива теорема о глобальной разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфав классе кусочно-дифференцируемых функций. Продемонстрируем схему её доказательства и выясним общий вид решения.

Теорема 1.Рассмотрим задачу Коши для уравнения Хопфа:

Пусть обладает следующими свойствами:

где - пространство непрерывных функций, - пространство кусочно-дифференцируемых функций.

Тогда задача Коши имеет решение вида

где , -функция Хевисайда.

Схема доказательства основывается на уже изученном процессе последовательного слияния фронтов-скачков во время эволюции ступенчатой функции-решения задачи Коши для уравнения Хопфа, а также на том факте, что измеримая ограниченная функция может быть приближена последовательностью ступенчатых функций.

Пусть исходная функция является пределом некоторой последовательности ступенчатых функций, начальные высоты всех ступенек равны , и получается при стремлении к нулю. Тогда после перехода к пределу и завершения слияния останется не более чем конечное число скачков, дающих видимый макроскопический вклад в форму . Покажем это.

Обозначим - число атомарных скачков, после слияния дающих -ый существенный вклад в форму , т.е. при . непрерывна на отрезке , а значит, и ограниченна на нём; отсюда следует, что число слившихся скачков не может превосходить

на каждом шаге (означает целую часть с округлением в меньшую сторону), и более того

Домножив обе части неравенства на и устремив к нулю, получим следующее предельное неравенство:

Поскольку , то случай противоречил бы ограниченности на.

Аналогично можно сформулировать теорему для начальной функции , идентичной уже рассмотренной, за исключением знака производной на .

Также справедлива более общая теорема о глобальной разрешимости и виде решения на бесконечном интервале. Для выполнения условий этой обобщённой теоремы не требуется постоянство знака производной, но её доказательство относительно трудоёмко и в данной работе не приводится.

Полученные результаты позволяют провести качественное исследование задачи Коши для уравнения Хопфа и дают представление о форме её решения для произвольной непрерывной кусочно-дифференцируемой функции в качестве начального условия.