logo search
Matematika_ispravlenaya

Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.

Пусть некоторая функция f(x) непрерывна на отрезке , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой : В предположение о непрерывности производной  на [a,b], длина кривой AB выражается формулой:

 или компактнее: 

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

где  t∈[a,b]. В этом случае для определения длина дуги  вычисляется определенный интеграл:

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах ρ=ρ(φ) где φ∈[α,β]. Тогда для определения длины дуги  вычисляется следующий определенный интеграл:

 Вычисление объема тела вращения:

а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ;

б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем ;

в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b (0≤a≤b)  и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле ;

г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами  и , то  объем полученного тела может быть вычислен по формуле .

д )вычисление объема тела по площадям поперечных сечений

 Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для  известна площадь его поперечного сечения S = S(x). Требуется определить объём этого тела. 

 Рассечём это тело плоскостями x = x0 = a, x = x1, x = x 2, …, x = xi-1, x = xi, …, x = x n-1, x =xn = b на n слоёв (a = x0< x1 < < x2< …< xn-1 < xn = b), на каждом из отрезков [xi-1, xi] возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями x = xi-1 и x= xi приближённо равен объёму  цилиндрика с площадью основания  и высотой : . Сумма объёмов  - объём ступенчатой фигуры - при  стремится к искомому объёму V, поэтому .

Площадь поверхности вращения.

Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси Ox дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания)

(- длина окружности кольца,  - его ширина).

  1.