Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.
Пусть некоторая функция f(x) непрерывна на отрезке , и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что то же самое, дугу кривой : В предположение о непрерывности производной на [a,b], длина кривой AB выражается формулой:
или компактнее:
Рассмотрим случай параметрического задания кривой:
где t∈[a,b]. В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл:
Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах ρ=ρ(φ) где φ∈[α,β]. Тогда для определения длины дуги вычисляется следующий определенный интеграл:
Вычисление объема тела вращения:
а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f(x), осью OX и двумя прямыми x = a и x = b(a < b) вокруг оси OX, то объем тела ;
б) а если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми y=c, y=d (c<d) и осью OY, вокруг оси OY, то его объем ;
в) если тело образовано вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной линией y = f (x), прямыми x = a, x = b (0≤a≤b) и осью OX, то его объем можно вычислить по формуле ;
г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле .
д )вычисление объема тела по площадям поперечных сечений
Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для известна площадь его поперечного сечения S = S(x). Требуется определить объём этого тела.
Рассечём это тело плоскостями x = x0 = a, x = x1, x = x 2, …, x = xi-1, x = xi, …, x = x n-1, x =xn = b на n слоёв (a = x0< x1 < < x2< …< xn-1 < xn = b), на каждом из отрезков [xi-1, xi] возьмём произвольную точку ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями x = xi-1 и x= xi приближённо равен объёму цилиндрика с площадью основания и высотой : . Сумма объёмов - объём ступенчатой фигуры - при стремится к искомому объёму V, поэтому .
Площадь поверхности вращения.
Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси Ox дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания)
(- длина окружности кольца, - его ширина).
-
Содержание
- Функция многих переменных: определение, геометрический смысл, область определения, область значений, линия уровня, поверхность уровня.
- Частные приращения функции двух аргументов, частные производные первого порядка, частные производные высших порядков
- Сложные функции и их дифференцирование.
- Неявные функции и их дифференцирование.
- Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
- Полное приращение и полный дифференциал функции двух аргументов первого порядка. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
- Дифференциалы высших порядков от функции двух аргументов.
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке.
- Скалярное поле, производная по направлению, градиент, их свойства.
- Первообразная. Неопределенный интеграл: его свойства, геометрический смысл.
- Интегрирование тригонометрических функций
- Интегрирование дробно-рациональных функций.
- Интегрирование некоторых трансцендентных функций.
- Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций.
- Интегрирование гиперболических функций
- Интегральная сумма, определенный интеграл (определение, теорема существования, основные свойства, правила вычисления)
- Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.
- Физические приложения определенного интеграла: статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур, нахождение координат центра тяжести, теоремы Гульдена, вычисление работы и давления
- Несобственные интегралы: определение, признаки сравнения
- Двойной интеграл: определение, геометрический смысл, свойства, правила вычисления, замена переменных
- Геометрические приложения двойного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела, площадь поверхности
- Физические приложения двойного интеграла: масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции пластины.
- Тройной интеграл: определение, геометрический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, теорема о среднем значении.
- Приложения тройного интеграла: объем тела, масса, координаты центра тяжести, геометрические моменты инерции.