Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций.
При интегрировании иррациональных функций используются различные приемы. Мы рассмотрим метод рационализации подынтегрального выражения. Он заключается в выборе такой подстановки , которая данное подынтегральное выражение преобразует в рациональное относительно новой переменной . Поскольку рациональные функции мы умеем интегрировать, такие подстановки позволяют интегрировать и иррациональные функции.
Пусть — рациональная функция от и , т. е. функция, получаемая из и чисел с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, умножения и деления).
Если заменить в переменную выражением , то получим функцию от одной переменной . Интеграл от нее имеет вид:
Этот интеграл рационализируется с помощью подстановки
В самом деле, так как подкоренное выражение представляет собой дробно-линейную относительно функцию, то переменная рационально выражается через переменную
Тогда — рациональная функция. Заменяя теперь переменную в данном интеграле, получим интеграл от рациональной функции новой переменной
Если под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же дробно-линейным относительно х подкоренным выражением, то сначала следует привести их к одному показателю, после чего использовать указанный прием.
-
Содержание
- Функция многих переменных: определение, геометрический смысл, область определения, область значений, линия уровня, поверхность уровня.
- Частные приращения функции двух аргументов, частные производные первого порядка, частные производные высших порядков
- Сложные функции и их дифференцирование.
- Неявные функции и их дифференцирование.
- Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
- Полное приращение и полный дифференциал функции двух аргументов первого порядка. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
- Дифференциалы высших порядков от функции двух аргументов.
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке.
- Скалярное поле, производная по направлению, градиент, их свойства.
- Первообразная. Неопределенный интеграл: его свойства, геометрический смысл.
- Интегрирование тригонометрических функций
- Интегрирование дробно-рациональных функций.
- Интегрирование некоторых трансцендентных функций.
- Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций.
- Интегрирование гиперболических функций
- Интегральная сумма, определенный интеграл (определение, теорема существования, основные свойства, правила вычисления)
- Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.
- Физические приложения определенного интеграла: статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур, нахождение координат центра тяжести, теоремы Гульдена, вычисление работы и давления
- Несобственные интегралы: определение, признаки сравнения
- Двойной интеграл: определение, геометрический смысл, свойства, правила вычисления, замена переменных
- Геометрические приложения двойного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела, площадь поверхности
- Физические приложения двойного интеграла: масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции пластины.
- Тройной интеграл: определение, геометрический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, теорема о среднем значении.
- Приложения тройного интеграла: объем тела, масса, координаты центра тяжести, геометрические моменты инерции.