Интегральная сумма, определенный интеграл (определение, теорема существования, основные свойства, правила вычисления)

Пусть на отрезке  определена вещественнозначная функция .

Рассмотрим разбиение отрезка  — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок  на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков  называется шагом разбиения, где  — длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции  на отрезке , то есть .

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] называют предел, к которому стремится интегральная сумма.

Теорема существования определённого интеграла. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема по этому отрезку.

Свойства:

Правило. Для вычисления определенного интеграла от непрерывной функции надо найти для нее первообразную функцию и составить разность значений этой последней функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.