Двойной интеграл: определение, геометрический смысл, свойства, правила вычисления, замена переменных

Двойным интегралом называется предел двойной интегральной суммы при условии стремления к нулю диаметров всех ячеек, если он существует и не зависит он способа разбиения области D, от способа выбора ячеек C_i,j(x_i,y_j) внутри каждой ячейки

Геометрический смысл: двойной интеграл от функции f(x,y)≥0 на области S равен объему цилиндрического тела с основанием S и ограниченного сверху поверхностью z=f(x,y)

Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

3. , где k - константа;

4. Если  в области R, то ;

5. Если f(x,y)≥0 в области R и , то ;

6. Если f(x,y)≥0 на R и области R и S являются непересекающимися (рисунок 5), то .  Здесь  означает объединение этих двух областей.

Двойной интеграл вычисляется через повторные или двукратные интегралы. Различаются два основных вида областей интегрирования.

1)Область интегрирования S ограничена прямыми х=а, х=b и кривыми y=φ₁(x), y=φ₂(x),

Для такой области двойной интеграл вычисляется через повторный по формуле:

Сначала вычисляется внутренний интеграл:

При вычислении внутреннего интеграла ‘у’ считается переменной, а ‘х’-постоянной.

2)Область интегрирования S ограничена прямыми у=С, у=d и кривыми x=ψ₁(y), x=ψ₂(y)

Для такой области двойной интеграл вычисляется через повторный по формуле:

Сначала вычисляется внутренний интеграл, затем внешний.

При вычислении внутреннего интеграла ‘х’ считается переменной, а ‘у’-постоянной.

3)Если область интегрирования не относится ни к 1 ни ко второму случаю, то разбиваем ее на части таким образом, чтобы каждая из частей относилась к одному из этих двух видов.

Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой

Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:

1. Найти образ S в новой системе координат (u,v) для исходной области интегрирования R;

2. Вычислить якобиан преобразования (x,y)⇾(u,v) и записать дифференциал в новых переменных;

3. Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные x и y, выполнив, соответственно, подстановки x=x(u,v) и y=y(u,v) 

23. Содержание

    • Функция многих переменных: определение, геометрический смысл, область определения, область значений, линия уровня, поверхность уровня.
    • Частные приращения функции двух аргументов, частные производные первого порядка, частные производные высших порядков
    • Сложные функции и их дифференцирование.
    • Неявные функции и их дифференцирование.
    • Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
    • Полное приращение и полный дифференциал функции двух аргументов первого порядка. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
    • Дифференциалы высших порядков от функции двух аргументов.
    • Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке.
    • Скалярное поле, производная по направлению, градиент, их свойства.
    • Первообразная. Неопределенный интеграл: его свойства, геометрический смысл.
    • Интегрирование тригонометрических функций
    • Интегрирование дробно-рациональных функций.
    • Интегрирование некоторых трансцендентных функций.
    • Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций.
    • Интегрирование гиперболических функций
    • Интегральная сумма, определенный интеграл (определение, теорема существования, основные свойства, правила вычисления)
    • Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.
    • Физические приложения определенного интеграла: статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур, нахождение координат центра тяжести, теоремы Гульдена, вычисление работы и давления
    • Несобственные интегралы: определение, признаки сравнения
    • Двойной интеграл: определение, геометрический смысл, свойства, правила вычисления, замена переменных
    • Геометрические приложения двойного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела, площадь поверхности
    • Физические приложения двойного интеграла: масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции пластины.
    • Тройной интеграл: определение, геометрический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, теорема о среднем значении.
    • Приложения тройного интеграла: объем тела, масса, координаты центра тяжести, геометрические моменты инерции.