Физические приложения двойного интеграла: масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции пластины.
Масса и статические моменты пластины
Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости Oxy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна . Тогда масса пластинывыражается через двойной интеграл в виде
Статический момент пластины относительно оси Ox определяется формулой
Аналогично находится статический момент пластины относительно оси Oy :
Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости Oxy с плотностью, распределенной по закону , описываются формулами
Для однородной пластины с плотностью для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом.
Моменты инерции пластины
Момент инерции пластины относительно оси Ox выражается формулой
Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси Oy :
Полярный момент инерции пластины равен
Заряд пластины
Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости Oxy и его плотность распределения задана функцией . Тогда полный заряд пластины Q определяется выражением
-
Содержание
- Функция многих переменных: определение, геометрический смысл, область определения, область значений, линия уровня, поверхность уровня.
- Частные приращения функции двух аргументов, частные производные первого порядка, частные производные высших порядков
- Сложные функции и их дифференцирование.
- Неявные функции и их дифференцирование.
- Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
- Полное приращение и полный дифференциал функции двух аргументов первого порядка. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
- Дифференциалы высших порядков от функции двух аргументов.
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке.
- Скалярное поле, производная по направлению, градиент, их свойства.
- Первообразная. Неопределенный интеграл: его свойства, геометрический смысл.
- Интегрирование тригонометрических функций
- Интегрирование дробно-рациональных функций.
- Интегрирование некоторых трансцендентных функций.
- Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций.
- Интегрирование гиперболических функций
- Интегральная сумма, определенный интеграл (определение, теорема существования, основные свойства, правила вычисления)
- Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.
- Физические приложения определенного интеграла: статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур, нахождение координат центра тяжести, теоремы Гульдена, вычисление работы и давления
- Несобственные интегралы: определение, признаки сравнения
- Двойной интеграл: определение, геометрический смысл, свойства, правила вычисления, замена переменных
- Геометрические приложения двойного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела, площадь поверхности
- Физические приложения двойного интеграла: масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции пластины.
- Тройной интеграл: определение, геометрический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, теорема о среднем значении.
- Приложения тройного интеграла: объем тела, масса, координаты центра тяжести, геометрические моменты инерции.