Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Говорят, что функция z=f(x,y) имеет максимум в точке M0(x0,y0), т.е. при x=x0, y=y0, если f(x0,y0)>f(x,y) для всех точек (x,y) , достаточно близких к точке (x0,y0) и отличных от неё. Говорят, что функция z=f(x,y) имеет минимум в точке M0(x0,y0) , т.е. при x=x0, y=y0, если f(x0,y0)<f(x,y) для всех точек (x,y) , достаточно близких к точке (x0,y0) и отличных от неё.
Максимум и минимум функции называются экстремумами функции. Теорема (необходимое условие экстремума функции двух переменных). Если функция z=f(x,y) достигает экстремума при x=x0, y=y0, то каждая частная производная первого порядка от Z или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует. Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных). Пусть в некоторой области, содержащей точку M0(x0,y0) функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Пусть, кроме того, точка M0(x0,y0) является критической точкой функции f(x,y), т.е. , тогда при x=x0, y=y0: 1) f(x,y) имеет максимум, если дискриминант ∆=AC-B2>0 и A<0, где ; 2) f(x,y) имеет минимум, если дискриминант ∆=AC-B2>0 и А>0; 3) f(x,y) не имеет ни минимума, ни максимума, если дискриминант ∆=AC-B2<0; 4) если ∆=0 , то экстремум может быть, а может и не быть (требуется дополнительное исследование).
Пусть функция z=f(x,y) определена и непрерывна в некоторой ограниченной замкнутой области D. Пусть в этой области заданная функция имеет конечные частные производные первого порядка (за исключением, быть может, конечного количества точек). Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в данной замкнутой области требуется выполнить четыре шага простого алгоритма.
Алгоритм поиска наибольшего и наименьшего значений функции z=f(x,y) в замкнутой области D.
-
Найти критические точки функции z=f(x,y), принадлежащие области D.
Под критическими точками подразумевают такие точки, в которых обе частные производные первого порядка равны нулю (т.е. ∂z/∂x=0 и ∂z/∂y=0) или хотя бы одна частная производная не существует.
Часто точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, именуют стационарными точками. Таким образом, стационарные точки – есть подмножество критических точек.
-
Исследовать поведение функции z=f(x,y) на границе области D, найдя точки возможного наибольшего и наименьшего значений.
-
Найти значения функции z=f(x,y) во всех точках, полученных в предыдущих двух пунктах.
-
Из значений, полученных в третьем пункте, выбрать наибольшее и наименьшее.
Условным экстремумом функции z=f(x,y) в точкеM0(x0;y0) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y в окрестности данной точки удовлетворяют уравнению связи φ(x,y)=0.
Если из уравнения связи можно выразить одну переменную через другую, то задача определения условного экстремума сводится к задаче на обычный экстремум функции одной переменной. Например, если из уравнения связи следует y=ψ(x), то подставив y=ψ(x) в z=f(x,y), получим функцию одной переменной z=f(x,ψ(x)).
Метод множителей Лагранжа состоит в том, что для отыскания условного экстремума составляют функцию Лагранжа: F(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y) (параметр λ называют множителем Лагранжа). Необходимые условия экстремума задаются системой уравнений, из которой определяются стационарные точки:
Достаточным условием, из которого можно выяснить характер экстремума, служит знак d2F=F′′xxdx2+2F′′xydxdy+F′′yydy2. Если в стационарной точке d2F>0, то функция z=f(x,y) имеет в данной точке условный минимум, если же d2F<0, то условный максимум.
- Функция многих переменных: определение, геометрический смысл, область определения, область значений, линия уровня, поверхность уровня.
- Частные приращения функции двух аргументов, частные производные первого порядка, частные производные высших порядков
- Сложные функции и их дифференцирование.
- Неявные функции и их дифференцирование.
- Экстремум функции двух переменных, условный экстремум, наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
- Полное приращение и полный дифференциал функции двух аргументов первого порядка. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
- Дифференциалы высших порядков от функции двух аргументов.
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности в заданной точке.
- Скалярное поле, производная по направлению, градиент, их свойства.
- Первообразная. Неопределенный интеграл: его свойства, геометрический смысл.
- Интегрирование тригонометрических функций
- Интегрирование дробно-рациональных функций.
- Интегрирование некоторых трансцендентных функций.
- Интегрирование простейших иррациональных алгебраических функций.
- Интегрирование гиперболических функций
- Интегральная сумма, определенный интеграл (определение, теорема существования, основные свойства, правила вычисления)
- Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры, длины дуги плоской кривой, объема тела.
- Физические приложения определенного интеграла: статические моменты и моменты инерции плоских дуг и фигур, нахождение координат центра тяжести, теоремы Гульдена, вычисление работы и давления
- Несобственные интегралы: определение, признаки сравнения
- Двойной интеграл: определение, геометрический смысл, свойства, правила вычисления, замена переменных
- Геометрические приложения двойного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела, площадь поверхности
- Физические приложения двойного интеграла: масса, статические моменты, координаты центра тяжести и моменты инерции пластины.
- Тройной интеграл: определение, геометрический смысл, теорема существования, свойства, вычисление, теорема о среднем значении.
- Приложения тройного интеграла: объем тела, масса, координаты центра тяжести, геометрические моменты инерции.