Теорема Парсеваля

. (1.14)

Левая сторона (1.14) соответствует определению (0.5) скалярного произведения функций и, тогда (1.14) означает сохранение скалярного произведения функций при преобразовании Фурье. Применительно к физике теорема выражает, в частности, закон сохранения энергии и вероятности при преобразовании Фурье.

Марк-Антуан Парсеваль (1755–1836) – французский математик. Исследовал дифференциальные уравнения и функции комплексного переменного. Теорему доказал в 1799 г.

Доказательство

Используем (1.1) и (1.2)

,

,

тогда

.

Считаем интегралы существующими, и получаем

=,

где изменен порядок интегрирований.