logo
Мат

Ортонормированные базисы функций

Идея и практическая значимость

Функции, описывающие физическую систему, разлагаем по ортонормированному базису, то есть по множеству взаимно перпендикулярных функций единичной величины. В результате упрощается решение физических и технических задач, результаты получают наглядный физический смысл.

Разделы дисциплины

  1. Преобразование Фурье – разложение по базису гармонических функций.

  2. Сингулярные функции:

дельта-функция,

гребенчатая функция,

функция Хевисайда,

функция знака,

прямоугольная функция,

функция sinc,

треугольная функция.

  1. Гамма- и бета-функции Эйлера.

  2. Дифференциальные уравнения второго порядка, решениями которых являются базисы функций.

  3. Базисы, образованные классическими ортогональными полиномами:

Эрмита,

Лагерра,

Лежандра,

Чебышева.

  1. Сферические функции.

  2. Функции Бесселя.

  3. Функция Грина.

  4. Дифференциальные уравнения с частными производными.

Материал дисциплины применяется в курсах:

Специальные главы физики,

Квантовая механика,

Физика конденсированного состояния,

и в других теоретических дисциплинах.

Контрольные мероприятия

Индивидуальные задания 1, 2, 3 (4-ая, 9-ая, 14-ая недели).

Коллоквиум по теории в конце семестра.

Экзамен для группы РНТ1; дифф. зачет для групп РМС7, РЭН2, РП4.

Вопросы коллоквиума

  1. Преобразование Фурье прямое и обратное. Свертка. Теоремы о свертке и об умножении функций. Теорема о частотной полосе.

  2. Дельта-функция. Определение и интегральное представление. Выражение для сложного аргумента. Фурье-образ.

  3. Прямоугольная функция и ее Фурье-образ.

  4. Гамма-функция. Определение, график, рекуррентное соотношение. Значения: Г(1/2), Г(1), Г(2), Г(n + 1). Формула Стирлинга.

  5. Функция гармонического осциллятора. Уравнение и решение. Условие ортонормированности. Уровни энергии осциллятора.

  6. Сферическая функция. Определение, квантовые числа. Зависимость функции от углов  и . Условие ортонормированности.

  7. Функция Бесселя первого рода. Уравнение. Условия нормировки. Поведение при x  0 и x  . Условие ортонормированности на интервале (0, ∞).