Гильбертово пространство с дискретным базисом

Гильбертово пространство образуется множеством комплексных, квадратично интегрируемых функций, для которых определено скалярное произведение. Введено Гильбертом в 1910 г. Строится аналогично векторному пространству.

Давид Гильберт (1862–1943)

Базис ортов – совокупность функций

, ,

N – размерность пространства – конечное или бесконечное число;

–комплексная, квадратично интегрируемая функция, определенная на интервале вещественного аргумента .

Скалярное произведение является интегралом по области определения функций

, (0.5)

где – вещественнаявесовая функция; – комплексно сопряженная функция.

Комплексное сопряжение является преобразованием, обозначаемым знаком *. Определяем:

вещественная единица ,

мнимая единица ,,

.

Комплексное число a складывается из вещественной части и мнимой части

,

тогда

,

где – модуль числа; φ – фаза числа.

Квадрат модуля числа

,

фаза числа

.

Представление комплексного числа a точкой на плоскости.

Формула Эйлера

Откуда получаем

, ,

,

.

Формулу получил Эйлер в 1740 г.

Леонард Эйлер (1707–1783)

Условие ортонормированности базиса функций

. (0.6)

Разложение функции по базису

, (0.7)

где – множество проекций, илиспектр функции f(x). Проекция функции на орт

. (0.8)

Подстановка (0.8)→(0.7) дает тождество

,

если базис полон.

Условие полноты базиса

, (0.9)

где –дельта-функция,

Фильтрующее свойство дельта-функции

,

где .

Теорема Парсеваля – является аналогом теоремы Пифагора в пространстве функций – квадрат модуля вектора равен сумме квадратов его проекций

, (0.10)

где

, .

Предполагается, что интеграл и сумма в (0.10) существуют. Теорему получил Мари-Антуан Парсеваль в 1799 г.

Доказательство

Подставляем (0.7)

в левую сторону (0.10)

.

Меняем порядок суммирований и интегрирования, считая суммы конечными. Вычисляем интеграл, используя ортонормированность базиса (06):

.

Фильтрующее свойство символа Кронекера снимает одну сумму

,

получаем теорему Парсеваля

.