Преобразование фурье

Для наблюдателя на Земле планета, от греч. πλανήτης – «блуждающая», совершает неравномерное и иногда даже возвратное движение по небу. Древнегреческий математик Аполлоний представил в III в. до н.э. сложное движение планеты в виде суммы равномерных вращений по окружностям – эпициклам.

Аполлоний Пергский – (ок. 262 – ок. 190 до н.э.)

Проекция равномерного вращения по окружности описывается гармоническими функциями – синусом, косинусом и экспонентой с мнимым показателем. Идея Аполлония через 2 тысячи лет была применена к функциям французом Фурье. Он разложил функцию по гармоническим составляющим в 1807 г. Переход от функции к набору ее гармонических проекций, или спектру, называется преобразованием Фурье.

Жан Батист Жозеф Фурье (1768–1830)

Бесконечномерный базис гармонических функций

, ;.

Орт является решениемволнового уравнения Гельмгольца

и описывает плоскую волну

,

движущуюся вдоль оси x с волновым число k.

Герман Гельмгольц (1821–1894)

Базис с непрерывным спектромудовлетворяет:

условию ортонормированности

,

и условию полноты

.

Интегрирование выполнено при помощи формул, которые будут доказаны в разделе «Дельта-функция».

Преобразование Фурье функции является ее разложением по базису , спектр функциивыражается подобным преобразованием

, (1.1)

. (1.2)

Использовано:

–оператор Фурье, действующий на функцию с аргументом x, находящуюся в скобках , и дающий функцию, зависящую отk;

–оператор обратного преобразования Фурье, действующий на функцию с аргументом k, находящуюся в скобках , и дающий функцию, зависящую отx;

–фурье-образ или спектр функции ;

k и x – фурье-сопряженные переменные, – безразмерная;

–ядро преобразований, не зависящее от преобразуемой функции.

Преобразования (1.1) и (1.2) существуют, если функции иквадратично интегрируемы, то есть существуют

, .

Эти величины в ряде важнейших приложений имеют смысл полной вероятности и полной энергии, соответственно.

Преобразование Фурье применяется во многих областях науки и техники. Решаемая задача, подвергнутая преобразованию Фурье, часто оказывается проще своего исходного варианта и допускает решение.

Преобразование Фурье технически реализуется, например, колебательным контуром входного каскада радиоприемника, телевизора, телефона. Выделенная полоса спектра далее усиливается. Рассмотрим примеры преобразования Фурье на основе оптических устройств.