2. Перетворення звичайного дробу в систематичний і визначення довжини періоду систематичного дробу.

Розглянемо питання про перетворення звичайного дробу в десятковий. Як відомо з арифметики звичайні дроби перетворюються або в скінченні, або не в скінченні періодичні десяткові дроби. При цьому звичайний дріб перетворюється в скінченний десятковий дріб тоді і тільки тоді, коли канонічний розклад знаменника має вигляд. тобто не містить ніяких простих множників, крім 2 і 5. Для спрощення вважатимемонескоротним правильним дробом.(Якщо він неправильний, то можна спочатку виділити цілу частину). Звичайні нескоротні і правильні дроби видуперетворюються в скінченні десяткові дроби з числом десяткових знаків, яке дорівнює найбільшому з чисел або . Справді, якщо = тоскінченний десятковий дріб. Якщо, тоскінченний десятковий дріб. Якщо, тоскінченний десятковий дріб.

Легко зрозуміти, що нескоротний дріб виду , девідмінне від 2 і 5, в скінченний десятковий дріб не перетворюється.

Справді, припускаючи супротивне,маємо

Звідки , де– дільник числа, що неможливо, бовідмінне від 2 і 5 за умовою і. Ця суперечність доводить справедливість твердження.

Теорема 1. Якщо канонічний розклад знаменника нескороченого дробуне містить у собі множників 2 і 5, то цей дріб перетворюється у чистий періодичний десятковий дріб; при цьому число цифр у періоді дорівнює показнику, до якого належить число 10, за модулем .

Доведення. Для спрощення дрібвважатимемо правильним. Процес ділення числана числопри умовіможна схематично зобразити так:

Цю схему в свою чергу можна подати у вигляді системи рівностей:

Де — остачі, а — частки проміжних обчислень. Будь-яка остача , очевидно, задовольняє нерівність

а будь-які числа задовольняють нерівність, тобто є цифрами, з яких складається частка 0,в схемі (4).

Проаналізуємо властивості чисел ідокладніше. Насамперед нагадаємо, що дрібє нескоротним і правильним. Це означає, щоі. Таким чином, числоє один з найменших додатних лишків ЗСЛ за модулемСправді

Оскільки числа взаємно прості, то з першої рівності (5) випливає, що. Справді за умовивипливало б, що вся права частина, а отже, і ліва частина ділилась би на. Тому числане були б взаємно простими, що суперечить (7). За умовівипливає, що остачає одним з найменших додатних лишків ЗСЛ за модулем. Аналогічно можна показати, що й числає найменшими додатними лишками ЗСЛ за модулем. Але ЗСЛ за модулемможе мати не більшенайменших додатних лишків. Тому в системі рівностей (5) настане момент, коли одна з остач дорівнюватиме. Нехай. Тодірівність (5) збіжиться з першою рівністю цієї системи. І тому … . Далі, … рівність збіжиться з другою рівністю (5) і тому. Таким чином, остачіі часткипроміжних обчислень повторюватимуться. Тим самим частка в схемі (4) буде чистим періодичним десятковим дробом виду

Для доведення теореми залишається показати, що перше повторення настане після  кроків проміжних обчислень, де  – показник, до якого належить 10 за модулем . Справді, якщо – найменший показник, при якому здійснюється конгруенція

то при рівносильною їй є і конгруенція

Остання конгруенція якраз і показує, що, приписавши до нулів, що відповідає визначенню послідовних цифр частки, дістанемо при діленні наостачу. При діленнінаприаналогічно дістанемо через ділень остачу, яка дорівнює числу . Отже, частка (8) має вигляд, що й треба було довести.

Зауваження. З конгруенції випливає, щоабо.

Іншими словами, число 999…9, що складається з  дев’яток – найменше з можливих чисел такої структури, яке ділиться на . Це дає можливість досить легко знаходити число. Для цього треба послідовно ділити на числа 9, 99, 999, 9999, … і т. д., аж поки таке ділення не відбудеться. Кількість дев’яток у такому числі і дорівнює числу.

Теорема 2. Якщо канонічний розклад знаменника нескоротного дробумає вигляд,дето цей дріб перетворюється у мішаний періодичний дріб; число цифр до періоду дорівнює, де  – найбільше з чисел  і  ; число цифр періоду дорівнює , де  – показник, якому належить число 10 за модулем .

Доведення. Дріб

помножимо на , де. Матимемо

і далі

За теоремою 1, дріб перетворюється в чистий періодичний дріб з числом цифр у періоді, яке дорівнює, де  – показник, до якого належить 10 за модулем . Щоб з нього дістати початковий дріб, треба розділити його на, або інакше, перенести кому в знайденому періодичному дробі на знаків ліворуч; у результаті дістанемо мішаний періодичний дріб з числом  цифр до періоду. Теорему доведено.

Приклади.

1. Знайти число цифр періоду десяткового періодичного дробу, в який перетворюється дріб .

Ділимо на 39 послідовно числа 9, 99, 999, 9999, 99999. Нарешті з’ясовується, що тільки число 999999 націло ділиться на 39. Кількість дев’яток у цьому числі визначає довжину періоду: .

2. Знайти число цифр, яке міститься до періоду, і довжину періоду періодичного дробу, в який перетворюється дріб .

Знаменник цього дробу в канонічному розкладі має вигляд . Томує найбільшим з показників степеня цифр 2 і 5. Це означає, що періодичний десятковий дріб має дві цифри до періоду. Найменше з чисел, складених з дев’яток, яке ділиться на 11, є число 99. Воно складається з двох дев’яток. Це означає, що довжина … періоду періодичного дробу дорівнює 2. І справді, як неважко перевірити, розглядуваний дріб перетворюється в такий періодичний дріб:

.

71