§6. Класи лишків кільця цілих чисел за модулем .

Якщо K - область цілісності з І і- головний ідеал, породжений елементом, то всякі елементи, які конгруентні за ідеалом, називають конгруентними за модулемі записують, це так:

Суміжні класи кільця K - за ідеалом іназивають в даному випадку суміжними класами за модулем. Будь-який елемент суміжного класу називають часто лишком цього класу. Тому суміжні класи за модулемчасто називають класами лишків за модулем.

Теорема 7. Елементи конгруентні між собою за моду­лемтоді і тільки тоді, коли

Доведення. Якщо , тотобтонавпаки, якщо, то,тобто,і,значить,. Відзначимо деякі властивості конгруенцій за модулем. Ос­новні властивості конгруенцій сформульовані в теоремі І. Із цієї теореми випливає, зокрема, що почленне додавання і множення конгруенцій за одним і тим же модулем не приводить до порушення конгруентності. Конгруентність не порушується ще й при таких перетвореннях:

1. додавання до обох частин конгруенції одного і того ж елемента;

2. перенесення з протилежним знаком будь-якого доданка з одні­єї частини конгруенції в другу;

3. додавання до однієї частини конгруенції елемента, кратного модулю;

4. множення обох частин конгруенції на будь-який елемент;

5. ділення обох частин конгруенції на їх спільний дільник, що взаємно простий з модулем;

6. множення обох частин конгруенції і модуля на довільний еле­мент;

7. ділення обох частин конгруенції і модуля на їх довільний спільний дільник.

Доведення непорушності конгруентності при вказаних перетвореннях

тривіальне і проводиться цілком аналогічно, як і для цілих чисел

(див. наприклад, О.І.Бородін, Теорія чисел, §15).

Вкажемо ще одну просту і важливу властивість конгруенцій.

Якщо елементи конгруентні за модулем, то вони конгруентні і за їх найменшим спільним кратним

Справді, із конгруенцій випливає, тобтоє спільним кратним чиселі, значить, елементділиться, звідки випливає потрібна конгруенції

.