2.Гомоморфізми та ізоморфізми кілець

1.Як відомо, одним із основних понять математики є поняття, функції, відображення. Це поняття вивчається і в математичному аналізі,і в геометрії,і в алгебрі. При вивченні алгебраїчних структур найбільший інтерес становлять ті відображення, які певним способом узгодженні із алгебраїчною структурою, що вивчається. В теорії груп такими відображеннями є гомоморфізми, тобто, такі ж відображення f групи G в групу що

(а,bG): f(ab)=f(a)

В теорії кілець вивчаються відображення, які аналогічним способом узгоджені з алгебраїчними операціями, означеними в кільці. Такі відображення називаються кільцевими гомоморфізмами.

Означення 1.Відображення fкільця К в кільце називається гомоморфізмом, якщо

(а,b К): f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b).

Перша з цих умов означає, що кільцевий гомоморфізм f в груповим гомоморфізмом адитивної групи кільця К в адитивну групу кільця . Внаслідок цього всі властивості групових гомоморфізмів справедливі і для кільцевих гомоморфізмів. Зокрема:

1.f(o)=0;

2.(а,К):f(-a)=-f(a)

Аналогічно, як і випадку груп, гомоморфізм f: K, який ін’єктивним відображенням, називається мономорфізмом: гомоморфізм f: K, який є сур’єктивним відображенням, називається епіморфізмом: гомоморфізм f: K, який є бієктивним відображенням, називається ізоморфізмом.

У зв’язку із властивостями 1. i 2. Виникає питання, чи не будуть аналогічні властивості справедливі відносно операцій множення. Виявляється, що будуть, але при деяких обмеженнях на кільця або на відображення f. Сформулюємо їх:

3. Якщо в кільці К існує 1 if є епіморфізмом кільця К в кільці , то вкільці=.

Справді, внаслідок сур’єктивності відображення f:

( а) (аК):

Тоді

( а):

( а):f(1)

Звідси виходить, що елемент f(1) відіграє роль одиниці в кільці тобтоf(1)=.Зауважимо, що одиничні елементи в кільцях К і є єдиними.

4.Якщо в кільці К існує І, кільце областю цілісності з одиницею, то для всякого гомоморфізмуf: Kсправедливо f(1)=.

Дісно,

( аК)f(a)=f(a1)=f(a)f(1)

і з другого боку, f(a)=f(a), звідси f(a)f(1)=f(a) або інакше

f(a)[f(1)-

Оскільки в К нема дільників нуля і а можна підібрати так, щоб а є К ми включаємо тривіальний випадок: ( а): f(a)=0), то з наступної рівності виходить, що f(1)=, відповідно, і відображення f: K

є таким, що f(1)= Якщо існує обернений елемент для для елементааК, то існує обернений елемент для f(a)і при цьому

f()=.

Твердження випливає із рівностей:

f(a)f()=f(a)=f(1)=,

f()f(a)= f()=f(1)=.

Для групового гомоморфізму вводять поняття ядрaKerf і області значеньImf. Аналогічні поняття вводяться і для кільцевого гомоморфізму.

Означення 2. Ядром гомоморфізму f: Kназивається множина Kerfвсіх тих елементів f К, які відображенням f переводяться в нулевий елемент 0 кільця :

Ker f={}

Областю знаень або образом гомоморфізму f: Kназивається множина Imf всіх тих елементів в , для яких існують такі елементих К, що

Im f ={}.

Як відомо, у випадку групового гомоморфізму f: Gмножини Ker f і Im f є підгрупами груп G і відповідно. Неважко перевірити, що у випадку кільцевого гомоморфізмуf: Kмножини Kerf і Imf є підкільцем кільця К і відповідно. До цього питання ми ще повернемось в параграфі 3.

Приклад.Розглянемо кільце усіх діагональних матриць 3-го порядку.

і кільце усіх трьохвимірних векторів

в якому операції задані так:

Задамо відображення f: Dтаким способом: якщо

Відображення f є гомоморфізмом:

Якщо

,то

А+В=f (A)=,f (B)=()

і значить

f(A+B)=()=(= f (A)+ f (B);

AB=

f(AB)=()=(=f (A) f (B);

Очевидно, що

Kerf=

Imf = {a = () |}

ІІ.Серед гомоморфізмів особлива роль належить ізоморфізмам. Якщо існує ізоморфне відображення кільця К на кільце , то кільця К таназиваютьізоморфними. Ізоморфні кільця мають цілком однакові алгебраїчні властивості і фактично їх можна не розрізняти. З цієї точки зору цікавим є наступне твердження.

Теорема 1. Якщо кільце К ізоморфне множині М з двома алгебраїчними операціями – додавання та множення, то множина М теж є кільцем.

Доведення. Нехай кільце К ізоморфне множині М, на якій означено операції додавання і множення. Нам треба довести, що множина М є кільцем. Оскільки на множині М операції вже означено, то залишається тільки показати, що ці операції задовольняють аксіоми кільця.

Оскільки кільце К ізоморфне М, то відображення ізоморфне f: K→M. Відображення fзокрема є сур’єктивним і , значить:

(,, М) (a, b, c К) : =f(a), =f(b),=f(c)

Тоді, в силу гомоморфності відображення f і справедливості аксіом кільця для операцій, означених на К, ми матимемо:

(а′+)+=((а)+ (b)) + f(c) = f (a+b) + f (c) = f ((a+b)+c);

f (a+(b+c))=f (a)+f (b+c)=f (a)+(f (b)+ f (c))=а′++;

)=( f (a) f (b)) f (c)=f (ab) f (c)=f ((ab)c)=f (a(bc))=f (a) f (bc)=f (a)( f (b) f (c))=);

+= f (a)+f (b)=f (a+b)=f (b)+f (a)=+а′;

+=f (ab)+f (ac)=f (a) f (b)+f (a) f (c)=а′b′+а′с′.

Таким чином, операції, означені на множині М, задовольняють аксіоми 1),2), 5), і 6) означення кільця. Роль нулевого елемента в М виконує f(0):

а′а′,

протилежним елементом до елемента є елементf(-a) :

а′.

Отже, множина М є кільцем.

Як бачимо, ізоморфізм переносить алгебраїчні властивості з однієї множини на другу. При допомозі ізоморфізму можна розв’язати і питання про існування обернених елементів. Цим займемося в наступному пункті.

ІІІ. Поле дробів області цілісності. Якщо кільце К є кільцем з одиницею, то деякі елементи цього кільця мають обернені до себе. Постараємося з’ясувати, для яких елементів кільця існують обернені елементи.Справді, якщо а — дільник нуля кільця К, тобто, існує такий елемент щоab = 0, то припустивши існування елемента і домноживши останню рівність на, дістанемо:

всупереч умові

Отже, шукати елементи, що мають обернені, треба серед недільників нуля. Виникає питання: чи кожен елемент, що не є дільником нуля, має обернений? Відповідь одержується, коли з цього погляду розглянути кільце Z цілих чисел. В кільці Zобернені елементи мають тільки 1 і -1. Інші числа обернених елементів не мають і в той же час вони не є дільниками нуля. Отже, не всі недільники нуля мають обернені елементи . Одначе, для кільця Z цілих чисел існує більш широке кільце — поле раціональних чисел, яке містить кільце Z і в якому кожне ненулеве ціле число має обернене число. Тоді можна поставити питання: чи не має місця аналогічна ситуація у випадку довільного кільця К? Виявляється, що має і це можна обґрунтувати ввівши поняття ізоморфного вкладення кільця в кільце.

Означення. Говорять, що кільце К ізоморфно вкладається в кільце K′, якщо існує ізоморфне відображення кільця К на деяке підкільце K′ .

Виявляється, що кожне кільце К можна ізоморфно вкласти в кільце K′в якому всякий ненулевий елемент, що не є дільником нуля, має обернений. Обгрунтуємо зараз це твердження тільки для того випадку, колиК — область цілісності. КільцеK′ виявиться при цьому полем. Отже, доведемо таку теорему.

Теорема 2. Всяка область цілісності К ізоморфно вкладається в поле

Доведення. Щоб виробити підхід до доведення даної теореми, зауважимо, що поле раціональних чисел, яке містить в собі кільце цілих чисел і в якому кожне ненулеве ціле число має обернене, одержується із кільця Z шляхом введення дробів , деm, n — цілі числа, тобто шляхом розгляду впорядкованих пар цілих чисел. Доведення теореми 2 зводиться до фактичної побудови поля . Цю побудову здійснюватимемо аналогічно, як і при побудові поля раціональних чисел, тобто шляхом розгляду множини всіх впорядкованих пар елементів з кільцяК.

1. Отже, розглянемо множину всіх впорядкованих пар (

(a,хK, x) елементів із кільця К. Ці пари зручно записувати у вигляді і називати дробами. Введемо в цій множині відношення рівності таким способом: дробибудемо називати рівними,, якщоaу=bх. Так введемо відношення, яке є відношенням еквівалентності на множині . Справді, відношення рівності задовольняє всім трьом умовам з означення відношення еквівалентності:

а) , бо aх= ах / рефлективність ̸;

б) )) , бо з рівності

ау = bх

в) :(бо перемноживши рівностіау=bх і bz = су (1). Одержимо (ау)(bz)=(bх)(су) , звідси скориставшись асоціативністю і комутативністю множення в кільці К та властивістю аz = cx (2).

(це при умові, що bb=с, то в силу того, що в К немає дільників нуля, з рівності (1) випливатиме: а=0,с=0 і тоді рівність (2) очевидна).

Відомо, що всяке відношення еквівалентності на множині визначає розбиття цієї множини на класи. Тому введене нами відношення рівності дробів в множині визначає розбиття цієї множини класи рівних між собою дробів. Кожен такий клас є сукупністю всіх рівних між собою дробів і тому він повністю означається будь-яким своїм елементом, через це будемо його позначати так: {. Різні такі класи не містять рівних між собою дробів і об’єднання всіх таких класів співпадає із множиною. Отже,

2. Доведемо, що множина утворює поле. Для цього треба ввести в множиніоперації додавання і множення. Введемо їх так:

:{

Ці означення коректні, бо кільце К є областю цілісності і тому із нерівностей xy випливає, що x . Покажемо, що так введені операції є однозначними, тобто, що сума і добуток класів іне залежить від вибору представників класів. Інакше кажучи, що коли

(3)

то (4)

Рівність (3) означає, що

(5)

Щоб довести рівності (4), треба довести рівності:

а для цього треба показати справедливість рівностей:

які в силу дистрибутивності і асоціативності рівносильні рівностям:

Якщо врахувати, що в кільці К множення комутативне, асоціативне і дистрибутивне, то перша з останніх рівностей одержується із вірних рівностей (5) домноженням першої з них на другої — наі наступним додаванням одержаних рівностей, а друга — почленним перемноження рівностей (5). Цим справедливість рівностей (4) доведена.

Таким чином, які б не брати дроби із класів сума і добуток цих класів залишаються незмінними.

Приступимо до перевірки виконання аксіом поля в множині . Справедливість асоціативності, комутативності, додавання і множення та дистрибутивність множення відносно додавання в множинібезпосередньо випливає із справедливості цих властивостей в кільціК. Перевіримо, наприклад, дистрибутивність множення відносно додавання:

звідки внаслідок рівності правих частин одержуємо:

Щоб вказати нульовий елемент в множині , зауважимо, що множина всіх дробів видуутворює клас рівних дробів, бо

x, yK; x, y

і з рівності

Крім того,

Отже, нулевим елементом в множині є клас{Протилежним елементом класу є клас

Роль одиниці в множині К відіграє клас , який складається із усіх дробів з однаковими ненулевими чисельниками і знаменниками. Справді,

Залишається тільки помітити, що множина всіх дробів з рівними чисельниками і знаменниками справді утворює клас рівних дробів. Цей факт є наслідком того, що завждиі завжди з рівностівипливаєbx = xy, тобто, b = y. Якщо клас є ненулевим, тобто,a, то оберненим до цього класу є клас , що містить дріб

Таким чином, множина задовольняє всім аксіомам з означення поляі тому вона є полем.

III. Покажемо нарешті, що кільце К ізоморфне підмножині поля в силу теореми 1 ця підмножина буде підкільцем. Вибір цієї підмножини показує нам ситуацію у випадку кільцяZ цілих чисел ціле число а завжди дорівнює дробові , дех — довільне ненулеве ціле число. Якщо у випадку довільного кільця виявиться, що множини дробів , деа — фіксований елемент кільця К і х пробігає всю множину К\{0} є класами рівних дробів, то можна сподіватися, що поставивши у відповідність елементу клас, одержимо ізоморфне відображення кільцяК на множину таких дробів.

Множина всіх дробів виду , де а — фіксований елемент кільця К і х пробігає К\{0} утворює клас рівних дробів, бо

і з рівності виходить, щоbx = axy, тобто b = ay.

Задамо відображення f : K таким способом:

f(a) = {}.

Відображення fє бієктивним відображенням кільця Кна підмножину

_o = {{}|a}:

бо якби , то , звідсивнаслідок того, що в К немає дільників нуля, на підставі властивості випливатиме, всупереч умові.

б) відповідно до означення відображення f

Відображення f гомоморфне:

Отже, відображення fє ізоморфним відображенням кільця К на підкільце _o кільця (множина_o є підкільцем кільця на підставі теореми 1 і того очевидного факту, що сума і добуток елементів із_o знову належать_o). Цим доведено, що область цілісності К ізоморфно вкладається в поле .

В алгебрі побудована при доведенні теореми 2 поле називають полем дробів або полем часток області цілісностіК.