§7 Деякі арифметичні застосування теорії конгруенцій

Вище вже відзначалося, що сукупність усіх класів лишків утворює кільце відносно операцій додавання і множення суміжних кла­сів – фактор-кільце. Дослідимо, чи не є це кільце полем.

Лема. Сукупність класів лишків, взаємно про­стих з модулем, утворив у фактор-кільціабелеву мультиплікативну групу порядку

Доведення. Відзначимо насамперед, що коли , , тоі, внаслідок чого. З цього виходить, що добуток довільних суміжних класів ізналежить, фсоціативність і комутативніеть множення класів справедлива, боє комутативним кільцем. Внаслідок співвідношення

одиничний клас фактор-кільцяналежить. Для завершення доведення залишається показати, що кожен елементобернений елемент, що теж належить.

Нехай - довільний клас із. Тодіі за теоремою 2 §4

останньої рівності зокрема виходить що , тобто клас

. Крім того

Легко бачити, що Тому, тобто класє оберненим до класу.

Таким чином, - мультиплікативпа абелева група. Оскільки за відзначеним в кінці п.1 класів лишків, взаємно простих з модулем, то порядокдорівнює. Лема доведена.

Теорема 2. Якщоp- просте число, то кільце класів лишків за модулемє полем. Якщо- складене число, то кільцене є навіть областю цілісності.

Доведення.

1. Якщо - просте число, то кожне з чисел 1,2,...,-1 взаємно прості з р. Томувсі класилишківза модулем, крім нульового класуналежить абелевій мультиплікативній групі, про яку йде мова в лемі. Це і означає, що в мультиплікативному кільцізодиницеювсі елементи, крім нульового, мають обернені, тобтоє полем.

2. Нехай - складене число. Оскількимає нетривіальні натуральні дільники, що, звичайно, менші за нього, то

Покажемо, що клас є дільником нуля. Оскільки, тоі, значить, клас, тобто, не є нулівим класом кільця. Крім того, на підставі /І/.

Внаслідок того, що , значить,, тобто, клас, є ненульовкм. В той же час

Отже, в кільці існують дільники нуля, тобто,. не є областю цілісності і, тим більше, не є полем.

На закінчення цього параграфу використаємо доведену вище лему до доведення важливої теореми теорії чисел - теореми Ейлера.

Теорема 3. (Ейлера)

Доведення. Оскільки то класналежить сукупностікласів лишків, взаємно простих з модулем. За лемою множина є мультиплікативною абелевою групою порядку. Розглянемо в групіциклічну підгрупу, породжену класом. На підставі теореми Лагранжа порядок б цієї підгрупи є дільником порядку.

Тому, що порядок циклічної підгрупи співпадає з порядком породжуючо­го її елемента,

,

внаслідок чого

інакше кажучи,

Остання рівність показує, що іІ належать до одного і того ж суміжного класу за модулем і тому на підставі

теореми 2 §5

Якщо - просте число, тоі теорему Ейлера можна формулювати так:

ТеоремаФерма. Якщо - будь-яке просте число і- довільне ціле число, що не ділиться на,то

Часто теорему Ферма подають в такій формі:

Якщо - просте число, то

Якщо , то справедливість останньої конгруенції очевидна. Якщо, то остання конгруенція одержується з попередньої домножуванням на, що конгруенції не порушує.