2. Підгрупи. Циклічні групи.

І. ОЗНАЧЕННЯ ТА ПРИКЛАДИ ПІДГРУП.

Досі ми говорили про групи взагалі і не цікавились їх будовою та частинами, яких вони складаються.Одначе, вивчення структури групи, зокрема, їх підмножини представляє значний інтерес. Серед усіх підмножин групи G особливо виділяються ті множини, які самі є групами відносно операції , заданої в G, такі підмножини називаються підгрупами,їх вивчення ми і ознайомимось зараз.

Означення 1. Підмножина Н групи G, яка сама є групою відносно операції, заданої в G, називається підгрупою групи G.

Оскільки групова операція, будучи асоціативною на всій групі G, є асоціативною і на всякій підмножині групи G, та одиничний елемент групи G єдиний, то означення 1 безпосередньо виходить, що підмножина Н групи G є підгрупою тоді і тільки тоді, коли справджуються такі умови:

1. ():ab

2. Одиничний елемент е групи G належить підмножині Н,

3. ():

Зауважимо, що умова 2) є наслідком умов 1) і 3). Справді, якщо не порожня підмножина Н групи G задовольняє умови 1) і 3), то разом із довільним своїм елементом а підмножини Н містить (умова 3) і елемент(умова 1).

Отже, одиничний елемент е Н. Т.ч., справедливий такий критерій.

Теорема 1. Підмножина Н групи G є підмножиною групи G тоді і тільки тоді , коли

а) ():ab;

b) ():.

Приклад 1. Група є підгрупою групи, остання є підгрупою групи, а ця в свою чергу є підгрупою групи. В цьому легко переконатись перевіряючи умовиa) та b) теореми 1.

2. Множина всіх комплексних чисел, модуль яких дорівнює 1, є підгрупою групи, де— множина комплексних чисел відмінних від нуля.

Справді, оскільки модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку модулів, добуток двох чисел із належитьКрім того, якщоz, то z і , значить існує , причому==, тобто.

Множина P_n всіх парних підстановок є підгрупою симетричної групи .

Справді для ():( розкладаються в парне число транспозицій. Крім того, як відомо, підстановка, обернена до парної ,є парною.

Отже, є підгрупою симетричної групи . Підгрупаназивається знакозмінною групоюn-го степення. З деякими іншими групами підстановок ми ознайомились на практичних заняттях.

ІІ. ПІДГРУПИ ДОВІЛЬНОЇ ГРУПИ.ЦИКЛІЧНІ ПІДГРУПИ.

Вище були наведені приклади підгруп в конкретних групах. В цьому пункті будуть вказані підгрупи довільної групи, детально зупинимося на так званих циклічних підгрупах .

1. Тривіальні підгрупи. Якщо в групі Gвзяти підмножину , що складається з одного одиничного елемента е, то вона є підгрупою G, бо e×e=e і e^-1=е. Ця підгрупа називається одиничною підгрупою групи G.

Очевидно також, що вся група G є підгрупою самої себе. Підгрупи таGназиваються тривіальними підгрупами групи G. Якщо група G відмінна від одиничної групи, то в ній підгрупи, відмінні відіG, які називаються нетривіальними.

2. Перетин підгруп. Якщо H₁ і H₂ —підгрупи групиG, то їх перетин Н=H₁H₂ теж є підгрупою групи G.

Дійсно, якщо , тоі. Оскількиі—підгрупи, то внаслідок умови а) теореми 1і, звідки=Н. Аналогічно якщо=іі на підставі того, щоі—підгрупи, і(умоваb теореми 1), тобто . Т.ч., підмножина НG задовольняє умовам теореми 1, і, значить є підгрупою.

3. Циклічна підгрупа. Нехай а – довільний елемент групи G і (а)= – сукупність всіх степенів елемента а з цілими показниками. Множина (а) є підгрупою групи G. Справді для (:=і для (:(а). Елементиє степенями елемента а і тому належить (а). Таким чином, множина (а) задовольняє умовам теореми 1 і тому є підгрупою групиG. Ця підгрупа називається циклічною підгрупою, породженою елементом (а).

Означення 2. Сукупність всіх степенів елемента a, де G – довільна група з цілими показниками називається циклічною підгрупою групи Г, породженою елементом a і позначається (a).

Нехай G – група і а – довільний її елемент.

Тоді можуть мати місце такі випадки:

1. Будь-які два степені елемента а при різних показниках не рівні, тобто

(.

Елемент а при цьому називається елементом нескінченного порядку. Наприклад, число 2, в групі є елементом нескінченного порядку:.

Зрозуміло, що циклічна група (2), породжена елементом 2, є в даному випадку нескінченою.

Існують такі , що. Якщо для означеності прийняти, то матимемо=1, причомунатуральне число. Отже в даномувипадку існують такі натуральні числа s , що a^s=е. Найменше з чисел s, таких що a^s =е , називається порядком елемента a. Точніше , якщо(sN): a^s=е, що елемент а називається елементом скінченного порядку, а саме порядку n, якщо найменше з чисел s, таких що a^s=е.

Для прикладу візьмемо число (уявна одиниця) в групі <,·> і розглянемо його степені. Матимемо: i⁰

i⁰=1, і , i²= -1, i³= -1, i⁴=1, i⁵=і, i⁶= -1, i⁷= -1, i⁸=1,…

Як бачимо, існують натуральні числа s, а саме s=4,8,…, при яких i^s=1. Найменшим з них є 4. Отже, і – число порядку 4.

Циклічна підгрупа (і), породжена елементом і, є скінченною – має 4 різні числа 1,i,-1,-i. Отже, її порядок (кількість елементів) співпадає з порядком породжуючого числа i.

Тільки що наведені два приклади дозволяють сподіватися, що справедливим є таке твердження:

Теорема 2. Порядок циклічної підгрупи (а) групи G співпадає з порядком породжую чого її елемента а.

Доведення. Якщо елемент а є елементом нескінченного порядку, тобто при різних показниках степені елемента а різні, то підгрупа (а) містить безліч різних елементів, тобто її порядок теж нескінченний.

Нехай тепер елемент а має скінченний порядок n. Треба довести, що кількість елементів в групі (a) дорівнює n. З цією метою з підгрупи

(а)={……,}.

Виберемо елементи …,і покажемо, що 1)всі елементи системи (1) різні, 2) будь-який інший елемент, (m≠0,1,2,…,n-1) підгрупи (a) співпадає з деякими елементами системи(1).

Щоб довести, що будь-які два елементи системи (1) різні, припустимо,що деякі з цих елементів співпадають,тобто, припустимо,що

,(0≤k≤m≤n-1)

Домноживши останню рівність справа на матимемо

Оскільки 0<m-k<n , то остання рівність означає, що знайшлося натуральне число s=m-k<n, при якому =е. Останнє не можливе, бо а- елементn-го порядку. Отже всі елементи системи (1) різні.

Нехай тепер ,(m≠0,1,2,…,n-1)- довільний елемент, що не ввійшов в систему (1). За теоремою про ділення з остачею ми матимемо ,що

()(m=nq+r)^(0≤r<n).

Тоді =*==e*.

Отже, , 0≤r<n, тобто елемент співпадає з котримось з елементів системи (1).

Таким чином ми показали, що в підгрупі (a) є n різних елементів …,і це означає, щоOr(a)=n=Ora.

III.ЦИКЛІЧНІ ГРУПИ.

Є випадки, коли вся група G співпадає із деякою із своїх циклічних підгруп, тобто із сукупністю всіх степенів з цілими показниками деякого із своїх елементів а. Така група називається циклічною, елемент а- її твірним елементом.

Приклади. 1. Мультиплікативна група K_nвсіх коренів n-го степеня з 1 є циклічною. Справді, групаK_nскладається з чисел

+isin (k=0,1,2,…,n-1). Очевидно, що на підставі формули Муавра(k=0,1,2,…,n-1).

2. Адитивна група є циклічною.

Пригадаємо, що у випадку адитивної групи замість n-го степеня елемента а, розглядають елемент,n-кратний a, na=. Тоді

: n=

Цеозначає,що - циклічнаітвірнимелементомїїє 1, тобто Z=(1).

Характерно властивістю циклічних груп є те, що можна легко описати всі їх підгрупи.

Теорема 3. Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.

Доведення. Нехай G=(а)- циклічна група з твірним елементом а і Н- довільна її підгрупа. Треба довести, що Н- циклічна підгрупа.

Внаслідок того, що кожен елемент групи G є степенем елемента. Всі елементи підгрупи Н є теж степенями елемента а. Зауважимо, що коли Н- тривіальна група, то вона, очевидно,циклічна, а якщо Н- нетривіальна група, то серед її елементів обов’язково є степінь з натуральним показником. Дійсно, Н містить елемент з натуральним показником. Якщоk<0, то =Н і знову Н містить степінь a з натуральним показником –k. Таким чином , всіх степенів елемента a з натуральними показниками, які належать підгрупі Н, непорожня. Оскільки всяка підмножина множини натуральних чисел має найменше число , то і серед натуральних показників степенів елемента a, які належать підгрупі Н, є найменший показник

Покажемо, що елемент є породжуючим елементом підгрупиН. Для цього візьмемо довільний елемент підгрупиН і на підставі теореми про ділення з остачею запишемо співвідношення k=, деq,rZі 0≤r<зокрема,r=k-. Тоді. Якщо –q>0, то .Н, як добуток елемента самого на себе –q раз, якщо –q=0,то =eН, якщо ж –q<0, то =і знову належитьН, як добуток елемента оберненогоамого на себе |-q| раз. Оскільки Н, то Н, як добуток елементів єН. Якби rто в силу нерівності r<вН знайшовся би елемент із натуральним показником, меншим заk₀, що суперечить вибору . Отже,r=0. Тоді k=Внаслідок довільності елемента

ВІДНОШЕННЯ ЕКВІВАЛЕНТНОСТІ В УЗГОДЖЕННІ

З ГРУПОВОЮ ОПЕРАЦІЄЮ. СУМІЖНІ КЛАСИ.

Як уже підкреслювалося, основними об’єктами сучасної математики є математичні структури – множини з одним або декількома відношеннями. Алгебраїчні операції – окремий вид відношень , точніше, функціональних відношень. Зрозуміло, що можуть існувати структури, яких поряд з алгебраїчною операцією задано деякі інші відношення, зокрема, відношення еквівалентності. Зараз зупинимось на розгляді груп , в яких додатково введено деяке відношення еквівалентності. Інтерес становлять тільки ті відношення еквівалентності, які певним способом узгоджені з груповою операцією. Оскільки операція в групі, взагалі кажучи, некомутативна , то приходиться розглядати віношення еквівалентності, узгоджені з груповою операцією зліва, і відношення еквівалентності, узгоджені з груповою операцією зліва, і відношення еквівалентності, узгоджені з груповою операцією справа.

Означення 1. Говорять, що відношення еквівалентностіозначене на групіG, узгоджується з груповою операцією зліва, якщо

()(G): (b-)(ab-a)

і справа, якщо

()(G): (b-)(ba-)

Наведемо приклади відношень еквівалентності, узгоджених з груповою операцією зліва і справа.

Означення 2. Нехай Н-довільна підгрупа групи G. Елементи а,bG будемо називати конгруентними за модулем Н зліва і записувати а()

якщо , і справа та записувати

, якщо

Теорема 1. Відношення конгруентності зліва (справа) за модулем підгрупи Н є відношенням еквівалентності на G, узгодженим з груповою операцією зліва (справа).

Доведення. Теорему доведемо для відношення конгруентності зліва ( для конгруентності справа доведення аналогічне).

Перевіримо спочатку, що відношення конгруентності зліва за модулем підгрупи є відношенням еквівалентності, тобто, що воно заловільняє відомим умовам з означення, відношення конгруентності.

1. , бо

2. Якщо ,то елемент. Тоді підгрупі належить і еле-мент , тобто. Це і означає, що

3. Якщо і, то елементи. Тоді їх добуток , тобто елементналежитьН.

Значить,.

Залишилося показати, що дане відношення еквівалентності узгоджене з груповою операцією зліва , тобто, що

Щоб довести справедливість останьої конгруенції, треба показати, що

а остання належність очевидна, бо.

Отже, відношення конгруентності зліва (справа) за модулем є відношенням еквівалентності на G, узгодженим з груповою операцією зліва ( справа ).

Виявляється , що відношень еквівалентності на групі G, узгоджених з груповою операцією зліва (справа), які були б відмінними від відношення конгруентностізліва (справа) за модулем підгрупи Н взагалі немає. Інакше кажучи, відношуння конгруентності зліва (спра-ва) за модулем підгрупи Н є універсальним відношенням еквівалентності, узгодженим зліва (справа) з груповою операцією. Точніше така теорема, яку приймемо без доведення :

Теорема 2. Для всякого відношення еквівалентності ~ на групі G, узгоджено з груповою операцією зліва (справа) існує підгрупа Н групи G така, що відношення ~ євідношенням конг-руентностізліва ( справа ) за модулем підгрупи Н.

ІІ. СУМІЖНІ КЛАСИ. ТЕОРЕМА ЛАНГРАНЖА.

Відомо що всяке відношення еквівалентності на множині визначає розбиття цієї множини на класи еквівалентних між собою елементів. Відношення конгруентності зліва за модулем підгрупи Н групи G, як відношення еквівалентності. Ці класи еквівалентності називають в даному випадку лівими суміжними класами.

Означення 3. Лівим суміжним класом групиG за підгрупою , пароджененим елементомаG , називається клас еквівалентності відношення конгруентності зліва за модулем Н, якому належить а, тобто сукупність усіх елементів bG, конгруентності зліва із a за модулем Н. Отже,.

Аналогічно запроваджуються поняття правого суміжного класу. Нам треба встановити вигляд лівих суміжних класів, дати їх чіткіше; опис, 3 цією метою введемо спочатку поняття добутку підмножин групи G і відзначимо його деякі властивості , що будуть використані дальше.

Означення 4. Добутком підмножин А та В групи називається підмножина АВ цієї групи, яка складається із усіх тих і тільки тих елементів , які можна записати у виглядіх=ab, де .Отже,/

У випадку , коли А={a}, тобто, множина Aскладаэться тільки з одного елемента a ,добуток АВ записується так аВ. Відзначимо деякі властивості:

1)Множення підмножини групи G асоціативне:

(1)

Справді, на підставі асоціативності групової операції

і навпаки,

, звідси і випливає рівність (1) .

2)Якщо іА=В, то

Дійсно, всякий елемент х сА має вигляд х= са, а А.

Оскільки А=В, то а В. Тому х= саа В тобто х сВ.

Таким чином, сА сВ. Аналогічно навпаки: .

3)Якщо Н — підгрупа групи G, то Н*Н=Н.

Всякий елеметн х множини Н*Н має вигляд .

Оскільки Н — підгрупа , то , тобто,. Навпаки, для

, тобто

Наступна теорема дає зручний для багатьох випадків опис лівих суміжних класів.

Теорема 3.Підмножина K групи G є лівим суміжним класом групи G за підгрупою Н тоді і тільки тоді, коли, деа — деякий елемент групи G.

Доведення: Нехай К — лівий суміжний клас групи G за підгрупою Н. Треба довести, що .

Нехай а — довільний елемент класу К. Тоді за означенням класу К як класу еквівалентності зліва за модулем Н.

Покажемо, що . Оскількиця рівність є рівністю двох множників, то і доводити її будемо відповідним чином.

Якщо,то, тобто, елемент, звідки, звідки елемент. Це значить, щотобто,. Цим рівністьдоведена , тобто, доведено, що для всякого суміжного класу К існує елемент, такий що.

Покажемо тепер, що , навпаки, всяка підмножина , деa — довільний елемент групи G, є лівим суміжним класом групи G за підгрупою Н.

Нехай b — довільний елемент підмножини aН. Тоді, звідки, тобто,.

Зворотне включення доводиться точно так само , як і вище. Отже,, тобто ,— лівий суміжний клас групиG за підгрупою Н. Теорема доведена.

Як бачимо, всякий лівий суміжний клас групи G за підгрупою Н співпадає з множиною , деа — довільний елемент цього класу, і , навпаки, множина , деа — довільний елемент групи G, є лівим суміжним класом групи G за підгрупою Н. Тому скрізь дальше лівий суміжний клас грури G за підгрупою Н ми будемо записувати у вигляді aH, де а — елемент групи G.

Аналогічні міркування справедливі і по відношенні до правих суміжних класів і тому далі скрізь правий суміжний клас групи G за підгрупою Н, ми будемо записувати у виглядіHa, де а — елемент групи G.

Відзначимо деякі властивості лівих суміжних класів ( для правих суміжних класів властивості аналогічні.

Різні суміжні класи ігрупиG взаємно неперерізні і об'єднання їх

Цей факт безпосередгьо випливає із того , що сукупність лівих суміжних класів групи G за підгрупою Н утворює розбиття групи G.

2.Серед лівих суміжних класів групи G за підгрупою Н є сама підгрупа Н, бо

3.Якщо ,тоє підгрупою групиG.

Справді, якби клас aHбув підгрупою, то одиничний елемент , тобто існував би такий елемент, що, звідки,, тобтовсупереч умові.

4. Якщо підгрупа H групи G скінченна і містить точно m елементів, то і кожен лівий суміжний клас aB теж містить точно m різних елементів.

Дійсно, якщо , то

Якби для деяких i,jбуло , то домноживши цю рівність на ми одержали б, всупереч умові (- різні елементи підгрупи Н).

В теорії груп часто приходиться розглядати множини, елементами яких служать ліві чи праві суміжні класи.

Означення 4: Сукупністьусіх лівих суміжних класів групиGза підгрупою Н називається лівостороннім розкладом групи за підгрупою Н, а сукупність , всіх правих суміжних класів – правостороннім розкладомG за Н.

Таким чином,

Якщо група G абелева, то

Справді,

Тому у випадку абелевої групи не розрізняють конгруенції зліва і справа за модулем Н, а просто говорять про конгруентність за модулем Н. Оскільки у випадку абелевої групи і, очевидно,, то для абелевих груп вживають тільки терміни суміжний клас і розклад групиG за підгрупою Н.

Цією домовленістю щодо термінології ми скористуємось зараз при розгляді прикладів.

Приклади 1. Знайдемо суміжні класи абелевої групи , де – множина не рівних нулю комплексних чисел, за підгрупою

Оскільки суміжний клас — це сукупність всіх елементів, конгруентних між собою за модулем підгрупи Н, то для опису цієї сукупності треба знайти необхідну і достатню умову того, щоб 2 елементи групи , були конгруентні за модулемН.

За означенням , тоді і тільки тоді, коли , тобто коли .

Отже, два числа конгруентні за модулемН тоді і тільки тоді, коли . Це означає, що довільний суміжний клас групи за підгрупоюН є сукупність всіх комплексних чисел, які мають один і той же модуль. Сукупність всіх комплексних чисел з одним і тим же модулем rгеометрично являє собою коло, радіуса rз центром в початку координат. Отже, геометрично суміжний клас групи за підгрупоюН — коло з центром в початку координат, а сукупність всіх таких концентричних кіл – розклад групи за підгрупоюН.

2. Нехай адитивна група цілих чисел іmZ=(m)– її підгрупа, що складається із усіх цілих чисел кратних m. Оскільки група Zабелева,то умова конгруентності виглядає так:, тобтотоді і тільки тоді, коли(ділиться без остачі наm).

Зауважимо, що різниця чисел ділиться наmбез остачі тоді і тільки тоді, коли при діленні на mдають однакові остачі. Справді, нехай . Якщо, , то

Якщо ж , то ліва частина рівностіділиться наm. Тоді на mповинна ділитись і права . Оскільки Тому подільністьможлива тоді і тільки тоді, колитобто,

Таким чином,два цілі числа a і b конгруентні за модулемmZ підгруп тоді і тільки тоді, коли при діленні на m числа aіb дають однакові остачі. З цього виходить, що будь-який суміжний клас групи Z за модулем mZ, як множина всіх чисел, конгруентних між собою, є сукупністю всіх цілих чисел, які при діленні на дають одну і ту ж саму остачу r. Зрозуміло, що всіх різних класів групи Z за підгрупою mZ є стільки, скільки є різних остач при діленні на m, бо кожна остача Z належить до одного і тільки одного класу. Всіх різних остач при діленні mнаm ,а саме:0,1,2,….,m-1. Тому всіх різних суміжних класів за модулемmZ теж єm. Відповідно за теоремою 3 суміжний клас К , який є сукупністю всіх цілих чисел, що при діленні на m дають остачу r, можна записати у вигляді r+mZ, бо r=m*0+r і, значить, r К. Внаслідок цього розкладу групи Z підгрупою mZ запишеться так:

M={mZ,1+mr,2+mZ,….,(m-1)+mZ}

3. Наведемо ще приклад відношення конгруентності та суміжних класів за цим відношенням в неабелевій групі. Для цього в симетричній групі S_n всіх підстановок n – oго степеня розглянемо підгрупу H,що складається із усіх підстановок n – oго степеня, які елемент n залишають незмінним, тобто переводять його в себе:

H=

Оскільки всі перестановкиз чисел 1,2,…n-1 є

(n-1)! OrH=(n-1)!

Нехай для підстановок справедливоH).r^-1s і якщо

r^-1=,внаслідок того, що t^-1(n)=t_n і добуток переводиться n в n, остання рівність справедлива тоді і тільки тоді, колиr(t_n)=n, s(t_n)=n. Це означає, що лівий суміжний клас групи за підгрупою є сукупністю всіх підстановок, які в число nпереводять один і той же елементt_n . Інакше кажучи, лівий суміжний клас групи S_n за підгрупою H є сукупністю всіх підстановок, в яких nмає один і той же прообраз.

Із аналогічних міркувань, правий суміжний клас групи S_nза підгрупоюH є сукупністю всіх підстановок, в яких nмає один і той же образ.

H=

Внаслідок довільності елемента a^k всякий елемент із H є степенем елемента , тобто H–циклічна підгрупа породжена елементомa .

Вправи:

1. Навести приклад підгруп деяких конкретних груп.

2. Якщо a –елемент порядку n, то для яких натуральних чисел sсправедлива рівністьa^s?

3. Показати, що коли H –підгрупа групиG, то для всякого цілого s Zⁱ елемент a елемент a^-1 теж належитьH .

4. Визначити порядок підстановок і групи.

і групи

5. Знайти всі підгрупи симетричної групи.

6. Описати всі підгрупи адитивної групиZ цілих чисел.

Оскільки всі перестановкиз чиселто

Нехай для підстановоксправедливо. Тодіі якщо

то належністьрівносильна рівності:. Внаслідок того,щоі добутокпереводитьn вn, остання рівність справедлива тоді і тільки тоді, коли. Отже, конгруенція справедлива тоді і тільки тоді, коли і. Це означає , що лівий суміжний клас групиза підгрупою є сукупність всіх підстановок, які в числоn переводять один і той же елемент. Інакше кажучи, лівий суміжний клас групиза підгрупоюH є сукупністю всіх підстановок, в якихn має один і той же прообраз.

Із аналогічних міркувань, правий суміжний клас групиза підгрупоюHє сукупністю всіх підстановок, в якихn має один і той же образ.

Лівосторонній і правосторонній розклади групиза підгрупоюH мають відповідно вигляд:

Ці два розклади мають спільним тільки один суміжний клас-підгрупу. Інші суміжні класи в цих розкладах, мають як легко бачити, різні. Тому розкладитеж різні.

Закінчимо даний параграф однією простою, але важливою теоремою, яку встановив ще уXVIII ст. . Відомий французький математик Лагранж для випадку груп підстановок.

Теорема 4(Лагранжа). Якщо групаGскінчена і має порядокn, то порядок mвсякої підгрупиH є дільником числаn.

Доведення. Оскільки різні суміжні класи групиG взаємно неперерізні, то в силу скінченності групи G кількість різних лівих суміжних класів цієї групи за підгрупою H скінчена і нехай дорівнює k. за властивістю 4^o в кожному лівому суміжному класі єm елементів. Внаслідок цього і того, що різні суміжні класи групи Gза підгрупою H спільних елементів не мають, а об’єднання їх співпадає зG, кількість елементів в групі дорівнює mk. За умовою кількість елементів групи G дорівнюєn. Отже , n=mk, звідки m –дільник числаn. Теорема доведена.

Вправи:

1. Довести теорему 1 для відношення конгруентності справа.

2. Чи є операція множення підмножин абелевої групи комутативною?

3. Нехай H– підгрупа групи G. Довести, що сукупність всіх підмножин виду aH ,де a - довільний елемент групи G, утворює розбиття групи G.

4. Довести , що колиOrG=р , де р – просте число, то група є циклічною.

РОЗДІЛ ІІ. КІЛЬЦЯ ТА ІДЕАЛИ.

Література: 1. Ван-дер-гарден, Современная алгебра. ч.1. М. Гостехнодіт, 1947 г.

2. Л.А. Калухнин. Введение в общую алгебру. Наука, 1973г.

3. А.Г. Дуров, Лекции по общей алгебре. Я., 1973г.

4. С.Ленг. Алгебра, М., Мир. 1968г.

5. О.І. Бородін, Теорія чисел, Л., Вища школа, 1970 р.

Як уже не раз відзначалось, основним об’єктом в сучасній алгебрі є алгебраїчні структури, тобто множини, в яких введено одну чи декілька алгебраїчних операцій, які задовольняють тим чи іншим умовам (аксіомам структури). В алгебрі на першому курсі вивчалися дві важливі алгебраїчні структури – групи і поля. Вивчення алгебри на другому курсі розпочалося із встановлення ряду властивостей цілих чисел. В множині Z цілих чисел введені дві алгебраїчні операції – додавання і множення. Відносно операції додавання множина Z утворює адитивну абелеву групу, але, оскільки в ній є ще одна алгебраїчна операція – множення, її структура не є структурою групи. Множина Z цілих чисел не є і полем, бо жодне ціле число, крім І і –І, не має в Z оберненого до себе. Таким чином, в математиці є множини з двома алгебраїчними операціями (внутрішніми законами композиції), які не є полями. Найважливіший клас серед них утворюють кільця.